【题目】曲线 y=(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线

考查要点：本题主要考查函数渐近线的判断，包括水平渐近线和铅直渐近线的求解方法。

解题核心思路：

1. 铅直渐近线：寻找分母为零且分子不为零的点，此时函数值趋向无穷大。
2. 水平渐近线：分析当$x \to \pm\infty$时函数的极限值。

破题关键点：

• 分母分析：确定分母$1 - e^{-x^2}$为零的点，即$x=0$，此时分子为$2$，故$x=0$为铅直渐近线。
• 极限分析：当$x \to \pm\infty$时，$e^{-x^2} \to 0$，函数值趋向$1$，故水平渐近线为$y=1$。

铅直渐近线分析

1. 分母为零的点：
   解方程$1 - e^{-x^2} = 0$，得$e^{-x^2} = 1$，即$x^2 = 0$，故$x = 0$。
2. 分子在$x=0$处的值：
   当$x=0$时，分子$1 + e^{-0} = 2 \neq 0$。
3. 极限计算：
   当$x \to 0$时，分母$1 - e^{-x^2} \approx x^2$（泰勒展开），因此函数值$\frac{2}{x^2} \to +\infty$。
   结论：$x=0$是铅直渐近线。

水平渐近线分析

1. 当$x \to \pm\infty$时：
   $e^{-x^2} \to 0$，分子$\to 1 + 0 = 1$，分母$\to 1 - 0 = 1$。
2. 极限计算：
   $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + e^{-x^2}}{1 - e^{-x^2}} = \frac{1}{1} = 1$。
   结论：$y=1$是水平渐近线。