函数 y = sin 3x + ln(x^2 + 1) 的导数是A. cos 3x + (1)/(x^2 + 1)B. 3cos 3x + (1)/(x^2 + 1)C. 3cos 3x + (2x)/(x^2 + 1)D. -3cos 3x + (2x)/(x^2 + 1)

本题考查函数求导的知识，解题思路是利用加法求导法则以及复合函数求导法则分别对函数的两项进行求导，最后将结果相加。

步骤一：明确加法求导法则

若$y = u(x)+v(x)$，则$y^\prime=u^\prime(x)+v^\prime(x)$。
对于函数$y = \sin 3x + \ln(x^2 + 1)$，设$u(x)=\sin 3x$，$v(x)=\ln(x^2 + 1)$，那么$y^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)$。

步骤二：对$u(x)=\sin 3x$求导

根据复合函数求导法则，若$y = f(g(x))$，则$y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$。
令$t = 3x$，则$u(x)=\sin t$。

• 先对$\sin t$关于$t$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$(\sin t)^\prime=\cos t$。
• 再对$t = 3x$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$t^\prime=(3x)^\prime=3$。
• 由复合函数求导法则可得$u^\prime(x)=\cos t\cdot3$，将$t = 3x$代回，得到$u^\prime(x)=3\cos 3x$。

步骤三：对$v(x)=\ln(x^2 + 1)$求导

同样使用复合函数求导法则，令$s = x^2 + 1$，则$v(x)=\ln s$。

• 先对$\ln s$关于$s$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$(\ln s)^\prime=\frac{1}{s}$。
• 再对$s = x^2 + 1$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$s^\prime=(x^2 + 1)^\prime=2x$。
• 由复合函数求导法则可得$v^\prime(x)=\frac{1}{s}\cdot2x$，将$s = x^2 + 1$代回，得到$v^\prime(x)=\frac{2x}{x^2 + 1}$。

步骤四：求$y^\prime$

将$u^\prime(x)=3\cos 3x$和$v^\prime(x)=\frac{2x}{x^2 + 1}$代入$y^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)$，可得$y^\prime=3\cos 3x + \frac{2x}{x^2 + 1}$。