设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度函数为[ f(x,y) = } cxy & (0 leq x leq y leq 1) 0 & ((其它)) ](1) 求常数 c 的值；(2) 求 (X,Y) 分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度函数 f_X(x), f_Y(y)；(3) 判断随机变量 X 和 Y 是否相互独立，并说明理由。

我们来逐步解决这个关于二维随机变量 $(X, Y)$ 的题目。

题目已知：

二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为：

$f(x, y) = \begin{cases} cxy & \text{当 } 0 \leq x \leq y \leq 1 \\0 & \text{其它}\end{cases}$

(1) 求常数 $c$ 的值

我们知道，概率密度函数必须满足：

$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$

由于 $f(x, y) = 0$ 以外的区域是 $0 \leq x \leq y \leq 1$，所以积分区域为：

$\int_0^1 \int_0^y cxy \, dx \, dy = 1$

先对 $x$ 积分：

$\int_0^y cxy \, dx = c y \int_0^y x \, dx = c y \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^y = c y \cdot \frac{y^2}{2} = \frac{c y^3}{2}$

再对 $y$ 积分：

$\int_0^1 \frac{c y^3}{2} \, dy = \frac{c}{2} \int_0^1 y^3 \, dy = \frac{c}{2} \cdot \left[\frac{y^4}{4}\right]_0^1 = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{c}{8}$

令这个等于 1：

$\frac{c}{8} = 1 \Rightarrow c = 8$

答：(1) $c = 8$

(2) 求边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$

边缘密度函数 $f_X(x)$：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy$

由于 $f(x, y) = 8xy$ 当 $0 \leq x \leq y \leq 1$，所以对每个固定的 $x \in [0,1]$，$y$ 的取值范围是 $[x, 1]$，所以：

$f_X(x) = \int_x^1 8xy \, dy = 8x \int_x^1 y \, dy = 8x \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_x^1 = 8x \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}\right) = 4x(1 - x^2)$

所以：

$f_X(x) = \begin{cases} 4x(1 - x^2) & 0 \leq x \leq 1 \\0 & \text{其它}\end{cases}$

边缘密度函数 $f_Y(y)$：

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx$

对于固定的 $y \in [0,1]$，$x$ 的取值范围是 $[0, y]$，所以：

$f_Y(y) = \int_0^y 8xy \, dx = 8y \int_0^y x \, dx = 8y \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^y = 8y \cdot \frac{y^2}{2} = 4y^3$

所以：

$f_Y(y) = \begin{cases} 4y^3 & 0 \leq y \leq 1 \\0 & \text{其它}\end{cases}$

答：(2)

• $f_X(x) = 4x(1 - x^2), \quad 0 \leq x \leq 1$
• $f_Y(y) = 4y^3, \quad 0 \leq y \leq 1$

(3) 判断 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立

两个随机变量相互独立的充要条件是：

$f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

我们已知：

• $f(x, y) = 8xy$，当 $0 \leq x \leq y \leq 1$
• $f_X(x) = 4x(1 - x^2)$
• $f_Y(y) = 4y^3$

计算乘积：

$f_X(x) \cdot f_Y(y) = 4x(1 - x^2) \cdot 4y^3 = 16x y^3 (1 - x^2)$

而 $f(x, y) = 8xy$，显然：

$f(x, y) \ne f_X(x) \cdot f_Y(y)$

所以 $X$ 和 $Y$ 不独立。

答：(3)

• $X$ 和 $Y$ 不独立
• 理由：联合密度函数 $f(x, y)$ 不等于边缘密度函数的乘积 $f_X(x) \cdot f_Y(y)$

总结答案：

1. $c = \boxed{8}$

2. 边缘密度函数：

   • $f_X(x) = \boxed{4x(1 - x^2)}, \quad 0 \leq x \leq 1$
   • $f_Y(y) = \boxed{4y^3}, \quad 0 \leq y \leq 1$

3. $X$ 和 $Y$ 不独立，因为 $f(x, y) \ne f_X(x) \cdot f_Y(y)$