题目

设某数字接收机每分钟收到的信息次数服从参数为 4 的泊松分布，求：(1) 每分钟恰好收到 8 次信息的概率；

设某数字接收机每分钟收到的信息次数服从参数为 4 的泊松分布，求： (1) 每分钟恰好收到 8 次信息的概率；

题目解答

答案

我们来一步一步解决这个泊松分布的问题。

题目回顾：

某数字接收机每分钟收到的信息次数服从参数为 4 的泊松分布。

设随机变量 $ X $ 表示“每分钟收到的信息次数”，则
$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 4)$

我们要计算的是：

(1) 每分钟恰好收到 8 次信息的概率。

泊松分布的概率质量函数（PMF）：

泊松分布的概率质量函数为：

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

其中：

  • $ \lambda = 4 $：泊松分布的参数（即单位时间内的平均发生次数）
  • $ k = 8 $：我们要求的概率是恰好发生 8 次
  • $ e $：自然对数的底数，约为 2.71828

代入公式计算：

$P(X = 8) = \frac{e^{-4} \cdot 4^8}{8!}$

我们来逐步计算：

  1. $ 4^8 = 65536 $
  2. $ 8! = 40320 $
  3. $ e^{-4} \approx 0.01832 $（可以查表或使用计算器）

代入：

$P(X = 8) = \frac{0.01832 \cdot 65536}{40320} \approx \frac{1201.79}{40320} \approx 0.0298$

最终答案：

(1) 每分钟恰好收到 8 次信息的概率约为：
$\boxed{0.0298}$

（保留四位小数）

解析

本题考查泊松分布的概率计算。解题思路是先明确泊松分布的概率质量函数，再根据题目所给的参数和要求的事件次数，代入公式进行计算。

  1. 首先明确泊松分布的概率质量函数：
    • 若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim Poisson(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，其中$\lambda$是单位时间内的平均发生次数，$k$是我们所关注的事件发生的次数，$e$是自然对数的底数，约为$2.71828$。
  2. 然后根据题目条件确定$\lambda$和$k$的值：
    • 已知某数字接收机每分钟收到的信息次数服从参数为$4$的泊松分布，设随机变量$X$表示“每分钟收到的信息次数”，则$X\sim Poisson(\lambda = 4)$。
    • 要求每分钟恰好收到$8$次信息的概率，即$k = 8$。
  3. 最后将$\lambda = 4$和$k = 8$代入概率质量函数进行计算：
    • $P(X = 8)=\frac{e^{-4}\times4^{8}}{8!}$。
    • 分别计算各项的值：
      • 计算$4^{8}$：$4^{8}=4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = 65536$。
      • 计算$8!$：$8!=8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 40320$。
      • 计算$e^{-4}$：$e^{-4}\approx0.01832$（可以通过查阅数学用表或使用计算器得到）。
    • 将上述值代入$P(X = 8)$的表达式中：
      • $P(X = 8)=\frac{0.01832\times65536}{40320}$。
      • 先计算分子$0.01832\times65536 = 1201.79$。
      • 再计算$\frac{1201.79}{40320}\approx0.0298$。