题目
22.计算不定积分int (x^2)/(1-x^4) d x.
22.计算不定积分$\int \frac{x^{2}}{1-x^{4}} d x$.
题目解答
答案
将被积函数分解为部分分式：
\[
\frac{x^2}{1-x^4} = \frac{x^2}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}
\]
设部分分式为：
\[
\frac{x^2}{(1-x)(1+x)(1+x^2)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{Cx+D}{1+x^2}
\]
解得 $A = B = \frac{1}{4}$，$C = 0$，$D = -\frac{1}{2}$，故：
\[
\frac{x^2}{1-x^4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2}
\]
逐项积分得：
\[
\int \frac{x^2}{1-x^4} \, dx = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right| - \frac{1}{2} \arctan x + C
\]
或者等价表示：
\[
\boxed{\frac{1}{4} \ln |1+x| - \frac{1}{4} \ln |1-x| - \frac{1}{2} \arctan x + C}
\]