一、选择题（每题3分，共15分） 1.当x→0时，以下各式为无穷小量的是（）.A. (x+cos x)/(x)B. (sin x)/(x)C. (sin x)/(sqrt(x))D. (1)/(2^x)-1

考查要点：本题主要考查无穷小量的定义及极限的计算方法，需要判断各选项在$x \to 0$时的极限是否为0。

解题核心思路：

1. 无穷小量的定义：当$x \to x_0$时，若函数$f(x) \to 0$，则称$f(x)$是$x \to x_0$时的无穷小量。
2. 关键方法：对每个选项进行等价无穷小替换或泰勒展开，简化计算，判断极限是否为0。

破题关键点：

• 选项A：分子$\cos x$在$x \to 0$时接近1，导致分母$x$趋近于0，整体趋向无穷大。
• 选项B：利用$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，极限不为0。
• 选项C：将$\sin x$替换为$x$后，化简为$\sqrt{x}$，极限为0。
• 选项D：分母$2^x - 1$等价于$x \ln 2$，整体趋向无穷大。

选项分析

A. $\frac{x + \cos x}{x}$

• 拆分分子：$\frac{x}{x} + \frac{\cos x}{x} = 1 + \frac{\cos x}{x}$。
• 当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，因此$\frac{\cos x}{x} \approx \frac{1}{x} \to +\infty$。
• 结论：极限为无穷大，不是无穷小量。

B. $\frac{\sin x}{x}$

• 利用基本极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
• 结论：极限为1，不是无穷小量。

C. $\frac{\sin x}{\sqrt{x}}$

• 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$。
• 化简：$\frac{\sin x}{\sqrt{x}} \sim \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$。
• 当$x \to 0$时，$\sqrt{x} \to 0$。
• 结论：极限为0，是无穷小量。

D. $\frac{1}{2^x - 1}$

• 泰勒展开：当$x \to 0$时，$2^x = 1 + x \ln 2 + o(x)$。
• 分母近似：$2^x - 1 \approx x \ln 2$。
• 化简：$\frac{1}{2^x - 1} \approx \frac{1}{x \ln 2} \to +\infty$。
• 结论：极限为无穷大，不是无穷小量。