求下列不等式的解集：(1) x^2 - 9x + 20 > 0;(2) (2x+1)/(x-1) leq 1;(3) (5-x)/(x^2 - 2x - 3) leq -1

我们来逐个解决这三个不等式问题，给出详细的解题过程和最终答案。 --- ## **第(1)题：** **不等式：** $$ x^2 - 9x + 20 > 0 $$ ### **步骤 1：因式分解** 先对二次三项式进行因式分解： $$ x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) $$ 所以不等式变为： $$ (x - 4)(x - 5) > 0 $$ ### **步骤 2：找临界点** 令 $(x - 4)(x - 5) = 0$，解得： $$ x = 4,\quad x = 5 $$ 这两个点将数轴分成三个区间： 1. $x < 4$ 2. $4 < x < 5$ 3. $x > 5$ ### **步骤 3：判断符号** 我们选择每个区间的代表值代入原式判断符号： - 当 $x = 3$（在区间 $x < 4$）时： $$ (3 - 4)(3 - 5) = (-1)(-2) = 2 > 0 $$ - 当 $x = 4.5$（在区间 $4 < x < 5$）时： $$ (4.5 - 4)(4.5 - 5) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 $$ - 当 $x = 6$（在区间 $x > 5$）时： $$ (6 - 4)(6 - 5) = (2)(1) = 2 > 0 $$ ### **步骤 4：写出解集** 因为不等式是“>”，我们只取使表达式为正的区间： $$ x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty) $$ --- ## **第(2)题：** **不等式：** $$ \frac{2x + 1}{x - 1} \leq 1 $$ ### **步骤 1：移项整理** 将右边移到左边，统一分母： $$ \frac{2x + 1}{x - 1} - 1 \leq 0 $$ 通分： $$ \frac{2x + 1 - (x - 1)}{x - 1} \leq 0 = \frac{2x + 1 - x + 1}{x - 1} = \frac{x + 2}{x - 1} \leq 0 $$ ### **步骤 2：找临界点** 令分子分母为 0： - 分子 $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ - 分母 $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ 注意：$x = 1$ 会使分母为 0，**不能取等号**，必须排除。 ### **步骤 3：区间分析** 将数轴分成三个区间： 1. $x < -2$ 2. $-2 < x < 1$ 3. $x > 1$ 取代表值判断符号： - $x = -3$：$\frac{-3 + 2}{-3 - 1} = \frac{-1}{-4} = 0.25 > 0$ - $x = 0$：$\frac{0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$ - $x = 2$：$\frac{2 + 2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 > 0$ ### **步骤 4：考虑等号** 原不等式是“≤”，当分子为 0 时，即 $x = -2$，分母不为 0，所以可以取等号。 ### **步骤 5：写出解集** 满足 $\frac{x + 2}{x - 1} \leq 0$ 的区间是： $$ x \in [-2, 1) $$ --- ## **第(3)题：** **不等式：** $$ \frac{5 - x}{x^2 - 2x - 3} \leq -1 $$ ### **步骤 1：移项整理** 将右边移到左边： $$ \frac{5 - x}{x^2 - 2x - 3} + 1 \leq 0 $$ 统一分母： $$ \frac{5 - x + (x^2 - 2x - 3)}{x^2 - 2x - 3} \leq 0 $$ 化简分子： $$ 5 - x + x^2 - 2x - 3 = x^2 - 3x + 2 $$ 所以不等式变为： $$ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 2x - 3} \leq 0 $$ ### **步骤 2：因式分解** 分子： $$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$ 分母： $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $$ 所以不等式变为： $$ \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 1)} \leq 0 $$ ### **步骤 3：找临界点** 令分子分母为 0： - 分子：$x = 1, 2$ - 分母：$x = 3, -1$ 注意：$x = -1$ 和 $x = 3$ 是分母为 0 的点，**不能取等号**，必须排除。 ### **步骤 4：区间分析** 将数轴分成五个区间： 1. $x < -1$ 2. $-1 < x < 1$ 3. $1 < x < 2$ 4. $2 < x < 3$ 5. $x > 3$ 判断符号（取代表值代入）： - $x = -2$：$\frac{(-3)(-4)}{(-5)(-1)} = \frac{12}{5} > 0$ - $x = 0$：$\frac{(-1)(-2)}{(-3)(1)} = \frac{2}{-3} < 0$ - $x = 1.5$：$\frac{(0.5)(-0.5)}{( -1.5)(2.5)} = \frac{-0.25}{-3.75} > 0$ - $x = 2.5$：$\frac{(1.5)(0.5)}{(-0.5)(3.5)} = \frac{0.75}{-1.75} < 0$ - $x = 4$：$\frac{(3)(2)}{(1)(5)} = \frac{6}{5} > 0$ ### **步骤 5：考虑等号** 原不等式是“≤”，当分子为 0 时，即 $x = 1$ 或 $x = 2$，且分母不为 0，可以取等号。 ### **步骤 6：写出解集** 满足不等式的区间是： $$ x \in (-1, 1] \cup [2, 3) $$ --- ## **最终答案汇总：** 1. $x^2 - 9x + 20 > 0$ 的解集是： $$ \boxed{(-\infty, 4) \cup (5, +\infty)} $$ 2. $\frac{2x + 1}{x - 1} \leq 1$ 的解集是： $$ \boxed{[-2, 1)} $$ 3. $\frac{5 - x}{x^2 - 2x - 3} \leq -1$ 的解集是： $$ \boxed{(-1, 1] \cup [2, 3)} $$