题目
8.设方阵A满足 ^2-A-2E=0 证明:-|||-(1)A和 E-A 都可逆,并求它们的逆矩阵;(2) (A+E) 和 (A-2E) 不同时可逆.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明A可逆
由题意知，方阵A满足 ${A}^{2}-A-2E=0$，即 ${A}^{2}-A=2E$。可以改写为 $A(A-E)=2E$。由于矩阵乘法满足结合律，可以将上式改写为 $A(A-E)=2E$，即 $A(A-E)=2E$。由此可知，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$，说明 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{2}(A-E)$。
步骤 2：证明E-A可逆
由步骤1可知，$A(A-E)=2E$，即 $(A-E)A=2E$。由此可知，$(A-E)$ 与 $A$ 的乘积为 $2E$，说明 $(A-E)$ 可逆，且 $(A-E)^{-1}=\frac{1}{2}A$。
步骤 3：证明(A+E)和(A-2E)不同时可逆
假设 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 同时可逆，那么存在矩阵 $B$ 和 $C$，使得 $(A+E)B=E$ 和 $(A-2E)C=E$。将这两个等式相加，得到 $(A+E)B+(A-2E)C=2E$。将 $A^2-A-2E=0$ 代入上式，得到 $(A+E)B+(A-2E)C=A^2-A=0$。由于 $A^2-A=0$，所以 $(A+E)B+(A-2E)C=0$。这与 $(A+E)B=E$ 和 $(A-2E)C=E$ 矛盾，因此 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 不同时可逆。
由题意知，方阵A满足 ${A}^{2}-A-2E=0$，即 ${A}^{2}-A=2E$。可以改写为 $A(A-E)=2E$。由于矩阵乘法满足结合律，可以将上式改写为 $A(A-E)=2E$，即 $A(A-E)=2E$。由此可知，$A$ 与 $(A-E)$ 的乘积为 $2E$，说明 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{2}(A-E)$。
步骤 2：证明E-A可逆
由步骤1可知，$A(A-E)=2E$，即 $(A-E)A=2E$。由此可知，$(A-E)$ 与 $A$ 的乘积为 $2E$，说明 $(A-E)$ 可逆，且 $(A-E)^{-1}=\frac{1}{2}A$。
步骤 3：证明(A+E)和(A-2E)不同时可逆
假设 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 同时可逆，那么存在矩阵 $B$ 和 $C$，使得 $(A+E)B=E$ 和 $(A-2E)C=E$。将这两个等式相加，得到 $(A+E)B+(A-2E)C=2E$。将 $A^2-A-2E=0$ 代入上式，得到 $(A+E)B+(A-2E)C=A^2-A=0$。由于 $A^2-A=0$，所以 $(A+E)B+(A-2E)C=0$。这与 $(A+E)B=E$ 和 $(A-2E)C=E$ 矛盾，因此 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 不同时可逆。