星形线方程为x=a{cos )^3t y=a(sin )^3t)，求(1)星形线所围成的面积；(2)星形线的弧长；(3)星形线绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
星形线方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}\right.$($a\gt 0$，$0\leqslant t\leqslant 2\mathrm{\text{π}}$)，求
$\left(1\right)$星形线所围成的面积；
$\left(2\right)$星形线的弧长；
$\left(3\right)$星形线绕$x$轴旋转而成的旋转体的体积.
题目解答
答案
【解析】
$\left ( {1} \right )$$S=4\int ^{a}_{0} {ydx}=4\int ^{0}_{\dfrac {\pi } {2}} {y(t)x'(t)dt}=4\int ^{0}_{\dfrac {\pi } {2}} {a{sin}^{3}t\cdot 3aco{s}^{2}t(-sint)dt}$$=12{a}^{2}\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {si{n}^{4}tco{s}^{2}tdt}=12{a}^{2}\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {(si{n}^{4}t-si{n}^{6}t)dt}$$=12{a}^{2}\times \dfrac {\pi } {2}(\dfrac {3} {4}\times \dfrac {1} {2}-\dfrac {5} {6}\times \dfrac {3} {4}\times \dfrac {1} {2})=\dfrac {3\pi {a}^{2}} {8}$；
$\left ( {2} \right )$$L=4\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)}}$$=4\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {\sqrt {9{a}^{2}co{s}^{4}tsi{n}^{2}t+9{a}^{2}si{n}^{4}tco{s}^{2}t}dt}$$=12a\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {|sintcost|}dt=12a\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {sintcost}dt=6a$；
$\left ( {3} \right )$$V=2\int ^{a}_{0} {\pi {y}^{2}}dx=2\pi \int ^{0}_{\dfrac {\pi } {2}} {{a}^{2}}{sin}^{6}t\cdot 3a(-sint){cos}^{2}tdt$$=6\pi {a}^{3}\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {si{n}^{7}tco{s}^{2}tdt=6\pi {a}^{3}}\int ^{\dfrac {\pi } {2}}_{0} {{(sin}^{7}t-{sin}^{9}t)dt}$$=6\pi {a}^{3}(\dfrac {6} {7}\times \dfrac {4} {5}\times \dfrac {2} {3}-\dfrac {8} {9}\times \dfrac {6} {7}\times \dfrac {4} {5}\times \dfrac {2} {3})=\dfrac {32\pi {a}^{3}} {105}$；
解析
星形线的参数方程为$x=a\cos^3t$和$y=a\sin^3t$。为了计算星形线所围成的面积，我们使用参数方程的面积公式$S=4\int^{a}_{0}ydx$，其中$y$和$dx$都用$t$表示。由于星形线在第一象限的面积是整个面积的四分之一，我们只需计算第一象限的面积，然后乘以4。$dx$可以通过对$x$关于$t$的导数得到，即$dx=-3a\cos^2t\sin tdt$。将$y$和$dx$代入面积公式，得到$S=4\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}a\sin^3t(-3a\cos^2t\sin t)dt$。通过积分计算，得到$S=\frac{3\pi a^2}{8}$。
步骤 2：计算星形线的弧长
星形线的弧长可以通过参数方程的弧长公式$L=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}dt$计算。其中$x'$和$y'$分别是$x$和$y$关于$t$的导数。$x'=-3a\cos^2t\sin t$，$y'=3a\sin^2t\cos t$。将$x'$和$y'$代入弧长公式，得到$L=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{9a^2\cos^4t\sin^2t+9a^2\sin^4t\cos^2t}dt$。通过积分计算，得到$L=6a$。
步骤 3：计算星形线绕$x$轴旋转而成的旋转体的体积
星形线绕$x$轴旋转而成的旋转体的体积可以通过参数方程的体积公式$V=2\int^{a}_{0}\pi y^2dx$计算。其中$y$和$dx$都用$t$表示。$dx$可以通过对$x$关于$t$的导数得到，即$dx=-3a\cos^2t\sin tdt$。将$y$和$dx$代入体积公式，得到$V=2\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}\pi a^2\sin^6t(-3a\cos^2t\sin t)dt$。通过积分计算，得到$V=\frac{32\pi a^3}{105}$。