题目
已知随机变量X～B（2，p），且P（X≥1）=0.75，则p= ____ ．
已知随机变量X～B（2，p），且P（X≥1）=0.75，则p= ____ ．
题目解答
答案
解：∵ξ～B（2，p），P（X≥1）=0.75，
∴${C}_{2}^{1}{p}^{1}(1-p)^{1}+{p}^{2}$=0.75，即p2-2p+0.75=0，
解得p=$\frac{1}{2}$或p=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
∴${C}_{2}^{1}{p}^{1}(1-p)^{1}+{p}^{2}$=0.75，即p2-2p+0.75=0，
解得p=$\frac{1}{2}$或p=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
解析
步骤 1：理解二项分布
随机变量X～B（2，p）表示X服从参数为n=2和p的二项分布，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率。二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
步骤 2：计算P(X≥1)
P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) = C(2, 1) * p^1 * (1-p)^(2-1) + C(2, 2) * p^2 * (1-p)^(2-2) = 2p(1-p) + p^2 = 2p - 2p^2 + p^2 = 2p - p^2
根据题目条件，P(X≥1) = 0.75，所以2p - p^2 = 0.75。
步骤 3：求解p
将2p - p^2 = 0.75转化为一元二次方程p^2 - 2p + 0.75 = 0，解这个方程得到p的值。使用求根公式p = [2 ± sqrt(4 - 4*0.75)] / 2 = [2 ± sqrt(1)] / 2 = [2 ± 1] / 2，得到p = 1/2或p = 3/2。由于p是概率，其值必须在0到1之间，因此p = 3/2是不合理的，所以p = 1/2。
随机变量X～B（2，p）表示X服从参数为n=2和p的二项分布，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率。二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
步骤 2：计算P(X≥1)
P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) = C(2, 1) * p^1 * (1-p)^(2-1) + C(2, 2) * p^2 * (1-p)^(2-2) = 2p(1-p) + p^2 = 2p - 2p^2 + p^2 = 2p - p^2
根据题目条件，P(X≥1) = 0.75，所以2p - p^2 = 0.75。
步骤 3：求解p
将2p - p^2 = 0.75转化为一元二次方程p^2 - 2p + 0.75 = 0，解这个方程得到p的值。使用求根公式p = [2 ± sqrt(4 - 4*0.75)] / 2 = [2 ± sqrt(1)] / 2 = [2 ± 1] / 2，得到p = 1/2或p = 3/2。由于p是概率，其值必须在0到1之间，因此p = 3/2是不合理的，所以p = 1/2。