题目

21. (4.0分) 一批产品共20件，其中有5件是次品，其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意 取三次，每次取一件，则在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品的概率是____， 第三次才取到次品的概率是____，第三次取到次品的概率是____.

21. (4.0分) 一批产品共20件，其中有5件是次品，其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意 取三次，每次取一件，则在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品的概率是____， 第三次才取到次品的概率是____，第三次取到次品的概率是____.

题目解答

答案

(1) **在前两次取正品的条件下，第三次取次品的概率** 剩余18件产品中，次品数为5，故概率为 $\frac{5}{18}$。 (2) **第三次才取次品的概率** 前两次取正品，第三次取次品，概率为 $\frac{15}{20} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18} = \frac{35}{228}$。 (3) **第三次取次品的概率** 考虑所有情况（前两次取正品、一次正品一次次品、两次次品），总概率为 $\frac{1}{4}$。 **答案：** (1) $\boxed{\frac{5}{18}}$ (2) $\boxed{\frac{35}{228}}$ (3) $\boxed{\frac{1}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率、独立事件的概率计算以及全概率公式的应用。
解题思路：

  1. 第一空：在已知前两次取到正品的条件下，剩余产品数量和次品数量确定，直接计算第三次取次品的概率。
  2. 第二空：要求前两次均为正品且第三次为次品，需分步计算三次取的结果的概率并相乘。
  3. 第三空：第三次取到次品的概率与前两次取的结果无关，可通过对称性或全概率公式简化计算。

关键点：

  • 条件概率的计算需注意剩余样本空间的变化。
  • 独立事件的概率需分步相乘。
  • 全概率公式或对称性可快速求解第三次取次品的概率。

第一空：在前两次取正品的条件下，第三次取次品的概率

  1. 剩余样本空间：前两次取到正品后，剩余产品数为 $20 - 2 = 18$ 件，次品数仍为 $5$ 件。
  2. 概率计算：第三次取次品的概率为 $\frac{5}{18}$。

第二空：第三次才取到次品的概率

  1. 第一次取正品：概率为 $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$。
  2. 第二次取正品：剩余正品数为 $14$，总剩余数为 $19$，概率为 $\frac{14}{19}$。
  3. 第三次取次品：剩余次品数为 $5$，总剩余数为 $18$，概率为 $\frac{5}{18}$。
  4. 总概率：$\frac{3}{4} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18} = \frac{35}{228}$。

第三空：第三次取到次品的概率

  1. 对称性分析：每次取到次品的概率均相等，第三次取到次品的概率为 $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$。
  2. 验证：通过全概率公式计算所有可能情况（前两次取到0、1、2次次品），最终结果仍为 $\frac{1}{4}$。