题目
设 (t)=f(omega ) ,求 (t-4)f(-5t) 的傅里叶变换.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求 f(-5t) 的傅里叶变换
根据傅里叶变换的性质，若 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换，则 $f(-t)$ 的傅里叶变换是 $F(-\omega)$。同时，$f(at)$ 的傅里叶变换是 $\dfrac{1}{|a|}F\left(\dfrac{\omega}{a}\right)$。因此，$f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。
步骤 2：求 $tf(-5t)$ 的傅里叶变换
根据傅里叶变换的性质，若 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换，则 $tf(t)$ 的傅里叶变换为 $j\dfrac{dF(\omega)}{d\omega}$。因此，$tf(-5t)$ 的傅里叶变换为 $j\dfrac{d}{d\omega}\left[\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)\right]$。
步骤 3：求 $4f(-5t)$ 的傅里叶变换
因为 $f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$，所以 $4f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。
步骤 4：求 $(t-4)f(-5t)$ 的傅里叶变换
$(t-4)f(-5t) = tf(-5t) - 4f(-5t)$，所以其傅里叶变换为 $j\dfrac{d}{d\omega}\left[\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)\right] - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。进一步计算得到 $j\dfrac{1}{5}\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)F'\left(-\dfrac{\omega}{5}\right) - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$，即 $-\dfrac{1}{25}F'\left(-\dfrac{\omega}{5}\right) - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。
根据傅里叶变换的性质，若 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换，则 $f(-t)$ 的傅里叶变换是 $F(-\omega)$。同时，$f(at)$ 的傅里叶变换是 $\dfrac{1}{|a|}F\left(\dfrac{\omega}{a}\right)$。因此，$f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。
步骤 2：求 $tf(-5t)$ 的傅里叶变换
根据傅里叶变换的性质，若 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换，则 $tf(t)$ 的傅里叶变换为 $j\dfrac{dF(\omega)}{d\omega}$。因此，$tf(-5t)$ 的傅里叶变换为 $j\dfrac{d}{d\omega}\left[\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)\right]$。
步骤 3：求 $4f(-5t)$ 的傅里叶变换
因为 $f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$，所以 $4f(-5t)$ 的傅里叶变换为 $\dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。
步骤 4：求 $(t-4)f(-5t)$ 的傅里叶变换
$(t-4)f(-5t) = tf(-5t) - 4f(-5t)$，所以其傅里叶变换为 $j\dfrac{d}{d\omega}\left[\dfrac{1}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)\right] - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。进一步计算得到 $j\dfrac{1}{5}\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)F'\left(-\dfrac{\omega}{5}\right) - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$，即 $-\dfrac{1}{25}F'\left(-\dfrac{\omega}{5}\right) - \dfrac{4}{5}F\left(-\dfrac{\omega}{5}\right)$。