一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费. 试问：租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

考查要点：本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，涉及利润最大化问题。需要学生建立正确的数学模型，并利用二次函数的顶点公式求解最大值。

解题核心思路：

1. 设定变量：根据租金变化与租出数量的关系，引入变量表示租金增加的次数。
2. 建立收入函数：将总收入表示为租金、租出数量与维修费用的函数。
3. 化简函数：通过展开和整理，得到二次函数的标准形式。
4. 求顶点：利用二次函数顶点公式确定最大收入对应的租金值。

破题关键点：

• 正确表达租出数量与租金的关系：租金每增加100元，租出数量减少1套。
• 准确计算总收入：总收入包含租金收入减去维修费用。
• 二次函数顶点的应用：开口向下的抛物线顶点对应最大值。

设定变量与建立函数

设租金增加了$x$个100元，则：

• 月租金为$2000 + 100x$元，
• 租出的公寓数量为$50 - x$套，
• 维修费用为$200 \times (50 - x)$元。

总收入公式为：
$\text{收入} = (\text{租金} \times \text{租出数量}) - \text{维修费用} = (2000 + 100x)(50 - x) - 200(50 - x)$

化简收入函数

提取公因子$(50 - x)$：
$\begin{aligned}\text{收入} &= (50 - x)(2000 + 100x - 200) \\&= (50 - x)(1800 + 100x) \\&= -100x^2 + 3200x + 90000\end{aligned}$

求最大值

二次函数$-100x^2 + 3200x + 90000$的顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3200}{2 \times (-100)} = 16$

代入$x = 16$计算租金与收入：

• 租金：$2000 + 100 \times 16 = 3600$元，
• 租出数量：$50 - 16 = 34$套，
• 最大收入：
  $-100 \times 16^2 + 3200 \times 16 + 90000 = 115600 \text{元}$