证明（1+cscθ）（1-sinθ)=cotθcosθ

本题考查三角函数的恒等变换，解题思路是先将余割函数$\csc\theta$转化为$\frac{1}{\sin\theta}$，然后对式子进行化简，再利用三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$进一步化简，最后将化简结果转化为$\cot\theta\cos\theta$的形式。

1. 将$\csc\theta$转化为$\frac{1}{\sin\theta}$：
   已知原式为$(1 + \csc\theta)(1 - \sin\theta)$，因为$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$，所以原式可化为$(1+\frac{1}{\sin\theta})(1 - \sin\theta)$。
2. 展开式子：
   根据多项式乘法法则$(a+b)(c - d)=ac - ad+bc - bd$，对$(1+\frac{1}{\sin\theta})(1 - \sin\theta)$进行展开，可得：
   $(1+\frac{1}{\sin\theta})(1 - \sin\theta)=1\times1-1\times\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}\times1-\frac{1}{\sin\theta}\times\sin\theta=1 - \sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}-1$
3. 合并同类项：
   $1 - \sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}-1=\frac{1}{\sin\theta}-\sin\theta$
4. 通分：
   为了将$\frac{1}{\sin\theta}-\sin\theta$化为同分母的式子，给$\sin\theta$的分子分母同时乘以$\sin\theta$，可得：
   $\frac{1}{\sin\theta}-\sin\theta=\frac{1}{\sin\theta}-\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta}=\frac{1 - \sin^{2}\theta}{\sin\theta}$
5. 利用平方关系化简：
   根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，可得$1 - \sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$，所以$\frac{1 - \sin^{2}\theta}{\sin\theta}=\frac{\cos^{2}\theta}{\sin\theta}$。
6. 将式子转化为$\cot\theta\cos\theta$的形式：
   因为$\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$，所以$\frac{\cos^{2}\theta}{\sin\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\times\cos\theta=\cot\theta\cos\theta$。