二、(本题14分)设函数y=y(x)由方程x=int_(1)^y-xe^-u^(2)du确定，试求lim_(xto0)(y-(1+e)x-1)/(x^2).
题目解答
答案
设函数 $y = y(x)$ 由方程 $x = \int_{1}^{y-x} e^{-u^2} \, du$ 确定。
-
求 $y(0)$：
当 $x = 0$ 时，$\int_{1}^{y(0)} e^{-u^2} \, du = 0$，解得 $y(0) = 1$。 -
求 $y'(0)$：
对原方程两边关于 $x$ 求导，得
$1 = e^{-(y-x)^2} \cdot (y' - 1)$
代入 $x = 0$，$y(0) = 1$，解得 $y'(0) = 1 + e$。 -
求 $y''(0)$：
再次求导，得
$0 = e^{-(y-x)^2} \left[ -2(y-x)(y' - 1)^2 + y'' \right]$
代入 $x = 0$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 1 + e$，解得 $y''(0) = 2e^2$。 -
求极限：
由泰勒展开 $y(x) \approx 1 + (1+e)x + e^2 x^2$，得
$\lim_{x \to 0} \frac{y(x) - (1+e)x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^2 x^2}{x^2} = e^2$
答案： $\boxed{e^2}$
解析
考查要点：本题主要考查隐函数求导、泰勒展开的应用以及极限的计算。关键在于通过方程确定隐函数在某点的泰勒展开，进而求解高阶导数。
解题思路：
- 确定初始值：当$x=0$时，直接解方程得到$y(0)$。
- 隐函数求导：对原方程两边求导，代入已知条件求出$y'(0)$。
- 二次求导：对一次导数的表达式再次求导，得到$y''(0)$。
- 泰勒展开：利用泰勒展开将$y(x)$展开到二阶，代入极限表达式化简。
破题关键：
- 隐函数求导时注意积分上限的变量替换和链式法则。
- 泰勒展开需展开到二阶，确保分子中的高阶项被正确保留。
步骤1：求$y(0)$
当$x=0$时，原方程变为：
$0 = \int_{1}^{y(0)} e^{-u^2} \, du$
由于积分上下限相等时积分为0，故$y(0) = 1$。
步骤2：求$y'(0)$
对原方程$x = \int_{1}^{y-x} e^{-u^2} \, du$两边关于$x$求导：
$1 = e^{-(y-x)^2} \cdot (y' - 1)$
代入$x=0$，$y=1$，得：
$1 = e^{-1} \cdot (y'(0) - 1) \implies y'(0) = 1 + e$
步骤3：求$y''(0)$
对$1 = e^{-(y-x)^2} \cdot (y' - 1)$再次求导：
$0 = e^{-(y-x)^2} \left[ -2(y-x)(y' - 1)^2 + y'' \right]$
代入$x=0$，$y=1$，$y'=1+e$，得：
$0 = e^{-1} \left[ -2 \cdot 1 \cdot e^2 + y''(0) \right] \implies y''(0) = 2e^2$
步骤4：泰勒展开与极限计算
将$y(x)$展开到二阶：
$y(x) \approx 1 + (1+e)x + \frac{2e^2}{2}x^2 = 1 + (1+e)x + e^2x^2$
代入极限表达式：
$\lim_{x \to 0} \frac{y(x) - (1+e)x -1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^2x^2}{x^2} = e^2$