齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组,齐次线性方程组齐次线性方程组(齐次线性方程组)

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组的解法，特别是通过将系数矩阵化为行最简形来求通解的能力。

解题核心思路：

1. 行最简形：通过初等行变换将系数矩阵化为行最简形，明确主变量与自由变量。
2. 自由变量的设定：根据行最简形确定自由变量，用自由变量表示主变量。
3. 通解的构造：将主变量用自由变量线性表示，最终写出通解形式。

破题关键点：

• 正确进行行变换：确保系数矩阵化为标准的行最简形。
• 区分主变量与自由变量：首1对应的变量为主变量，其余为自由变量。
• 参数化自由变量：通常设自由变量为独立参数，如$c_1, c_2$，进而表达主变量。

步骤1：写出系数矩阵并化为行最简形

原方程组的系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & -1 \\2 & 3 & -6 & 1\end{pmatrix}$

初等行变换过程：

1. 消去第二行第一个元素：
   $r_2 = r_2 - 2r_1$，得到：
   $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 消去第一行第二个元素：
   $r_1 = r_1 - r_2$，得到行最简形：
   $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

步骤2：确定主变量与自由变量

• 主变量：对应首1的列，即$x_1$和$x_2$。
• 自由变量：未被首1占据的列，即$x_3$和$x_4$，设为参数$c_1, c_2$。

步骤3：用自由变量表示主变量

根据行最简形对应的方程组：

1. 第一行：$x_1 - 4x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4x_4 = 4c_2$。
2. 第二行：$x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 0 \Rightarrow x_2 = 2x_3 - 3x_4 = 2c_1 - 3c_2$。

步骤4：写出通解

将自由变量代入，通解为：
$\begin{cases}x_1 = 4c_2 \\x_2 = 2c_1 - 3c_2 \\x_3 = c_1 \\x_4 = c_2\end{cases}$