题目
利用莱布尼茨判别法判断交错级数 sum_(n=1)^infty (-1)^n-1 (1)/(sqrt(n)) 的敛散性，则（）A. 收敛B. 发散C. 敛散性不确定D. 以上选项都不正确
利用莱布尼茨判别法判断交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，则（）
A. 收敛
B. 发散
C. 敛散性不确定
D. 以上选项都不正确
题目解答
答案
A. 收敛
解析
步骤 1：定义 $a_n$
令 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，则原级数可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$。
步骤 2：验证单调性
观察 $a_n$ 的变化趋势，由于 $\sqrt{n}$ 随着 $n$ 的增加而增加，因此 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 随着 $n$ 的增加而减少，即 $a_{n+1} < a_n$，满足单调递减。
步骤 3：验证极限
计算 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$，满足极限为零。
步骤 4：应用莱布尼茨判别法
根据莱布尼茨判别法，如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足 $a_n$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则该级数收敛。
令 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，则原级数可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$。
步骤 2：验证单调性
观察 $a_n$ 的变化趋势，由于 $\sqrt{n}$ 随着 $n$ 的增加而增加，因此 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 随着 $n$ 的增加而减少，即 $a_{n+1} < a_n$，满足单调递减。
步骤 3：验证极限
计算 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$，满足极限为零。
步骤 4：应用莱布尼茨判别法
根据莱布尼茨判别法，如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足 $a_n$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则该级数收敛。