题目

根据函数极限的定义证明:(1)lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2) __;(2)lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2) __.

根据函数极限的定义证明:

(1) $\lim_{x\to\infty}\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$ ;

(2) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0$ .

题目解答

答案

(1)因为 $\left|\frac{1+x^{3}}{2x^{3}}-\frac{1}{2}\right|=\:\frac{1}{2\mid x\mid^{3}}$ ,

要使 $\biggr|\frac{1\:+\:x^{3}}{2x^{3}}-\frac{1}{2}\:\biggr|\:<\:\varepsilon$ ,

只要 $\frac{1}{2\mid x\mid^3}<\varepsilon$ ,即 $\mid x\mid>\frac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$ ,

所以 $\forall\varepsilon>0$ ,取 $X=\frac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$ ,

则当 $\mid x\mid>X$ 时，就有 $\left|\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon$ ,

即 $\lim_{x\to\infty}\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$ .

(2)因为 $\left|\frac{\sin\:x}{\sqrt{x}}-0\right|\leqslant\frac{1}{\sqrt{x}},\left|\frac{\sin x}{\sqrt{x}}-0\right|<\varepsilon$ ,

只要 $\frac1{\sqrt{x}}<\varepsilon\:$ ,即 $\:x>\frac1{\varepsilon^{2}}\:$ ,

所以 $\forall\varepsilon>0$ ,取 $X=\frac{1}{\varepsilon^2}$ ，

当 $x>X$ 时,就有 $\mid \frac{\sin x}{\sqrt{x}}-0\mid <\varepsilon\:$ ,

即 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0$ .

解析

考查要点：

极限的定义：掌握用极限定义证明函数极限的基本方法，即对任意给定的$\varepsilon >0$，找到对应的$X$，使得当$|x|>X$时，函数值与极限值的差小于$\varepsilon$。
分式化简与不等式变形（第1题）：通过分式变形找到差值表达式，进而解不等式确定$X$。
有界函数与无穷小量的乘积性质（第2题）：利用$|\sin x| \leq 1$进行放缩，结合分式不等式求解。

解题核心思路：

第1题：将分式差值化简为$\frac{1}{2|x|^3}$，通过解不等式$\frac{1}{2|x|^3} < \varepsilon$确定$X$。
第2题：利用$|\sin x| \leq 1$将差值放缩为$\frac{1}{\sqrt{x}}$，通过解不等式$\frac{1}{\sqrt{x}} < \varepsilon$确定$X$。

第（1）题

化简分式差值

计算$\left|\dfrac{1+x^3}{2x^3} - \dfrac{1}{2}\right|$：
$\begin{aligned}\left|\dfrac{1+x^3}{2x^3} - \dfrac{1}{2}\right| &= \left|\dfrac{1+x^3 - x^3}{2x^3}\right| \\&= \left|\dfrac{1}{2x^3}\right| = \dfrac{1}{2|x|^3}.\end{aligned}$

解不等式确定$X$

要使$\dfrac{1}{2|x|^3} < \varepsilon$，即：
$|x|^3 > \dfrac{1}{2\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad |x| > \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\varepsilon}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}.$
因此取$X = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$，当$|x| > X$时，原式成立。

第（2）题

利用有界性放缩

计算$\left|\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}} - 0\right|$：
$\left|\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}\right| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}}.$

解不等式确定$X$

要使$\dfrac{1}{\sqrt{x}} < \varepsilon$，即：
$\sqrt{x} > \dfrac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad x > \dfrac{1}{\varepsilon^2}.$
因此取$X = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$，当$x > X$时，原式成立。