题目
根据函数极限的定义证明:(1)lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2) __;(2)lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2) __.
根据函数极限的定义证明:
(1)
;
(2)
.
题目解答
答案
(1)因为
,
要使
,
只要
,即
,
所以
,取
,
则当
时，就有
,
即.
(2)因为
,
只要
,即
,
所以,取
，
当
时,就有
,
即.
解析
步骤 1：证明 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}=\dfrac {1}{2}$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}$ 与 $\dfrac {1}{2}$ 的差的绝对值：
$$\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right|=\left|\dfrac {1}{2{x}^{3}}\right|=\dfrac {1}{2|x|^{3}}$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$\dfrac {1}{2|x|^{3}}<\varepsilon$$
只要 $|x|>\dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$ 即可。因此，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $X=\dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$，当 $|x|>X$ 时，就有：
$$\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right|<\varepsilon$$
步骤 2：证明 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}$ 与 $0$ 的差的绝对值：
$$\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right|=\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}\right|\leqslant \dfrac {1}{\sqrt {x}}$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$\dfrac {1}{\sqrt {x}}<\varepsilon$$
只要 $x>\dfrac {1}{\varepsilon^{2}}$ 即可。因此，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $X=\dfrac {1}{\varepsilon^{2}}$，当 $x>X$ 时，就有：
$$\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right|<\varepsilon$$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}$ 与 $\dfrac {1}{2}$ 的差的绝对值：
$$\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right|=\left|\dfrac {1}{2{x}^{3}}\right|=\dfrac {1}{2|x|^{3}}$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$\dfrac {1}{2|x|^{3}}<\varepsilon$$
只要 $|x|>\dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$ 即可。因此，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $X=\dfrac {1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$，当 $|x|>X$ 时，就有：
$$\left|\dfrac {1+{x}^{3}}{2{x}^{3}}-\dfrac {1}{2}\right|<\varepsilon$$
步骤 2：证明 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$
首先，我们计算表达式 $\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}$ 与 $0$ 的差的绝对值：
$$\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right|=\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}\right|\leqslant \dfrac {1}{\sqrt {x}}$$
要使这个差的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$，即：
$$\dfrac {1}{\sqrt {x}}<\varepsilon$$
只要 $x>\dfrac {1}{\varepsilon^{2}}$ 即可。因此，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $X=\dfrac {1}{\varepsilon^{2}}$，当 $x>X$ 时，就有：
$$\left|\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}-0\right|<\varepsilon$$