题目
7.设 f_{n)(x)}在可测集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明 f_{n)(x)}a.e.收敛于f(x).
7.设$ \{f_{n}(x)\}$在可测集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明$ \{f_{n}(x)\}$a.e.收敛于f(x).
题目解答
答案
由“ basically”一致收敛的定义，对任意 $\delta > 0$，存在可测子集 $E_\delta \subset E$，满足 $m(E \setminus E_\delta) < \delta$，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f(x)$。
设 $E_0 = E[\lim_{n \to \infty} f_n \neq f]$，即不收敛点集。
则 $E_0 \subseteq E \setminus E_\delta$，故 $m(E_0) \leq m(E \setminus E_\delta) < \delta$。
令 $\delta \to 0$，得 $m(E_0) = 0$，即 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$。
\[
\boxed{\{f_n(x)\} \text{ a.e. 收敛于 } f(x)}
\]
解析
步骤 1：定义“基本上”一致收敛
“基本上”一致收敛意味着对于任意 $\delta > 0$，存在可测子集 $E_\delta \subset E$，满足 $m(E \setminus E_\delta) < \delta$，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f(x)$。其中 $m$ 表示测度。
步骤 2：定义不收敛点集
设 $E_0 = E[\lim_{n \to \infty} f_n \neq f]$，即不收敛点集。根据“基本上”一致收敛的定义，$E_0 \subseteq E \setminus E_\delta$，因为 $E_\delta$ 上 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $f(x)$，所以 $E_\delta$ 上不存在不收敛点。
步骤 3：测度的性质
由于 $E_0 \subseteq E \setminus E_\delta$，根据测度的单调性，有 $m(E_0) \leq m(E \setminus E_\delta) < \delta$。由于 $\delta$ 可以任意小，令 $\delta \to 0$，则 $m(E_0) = 0$，即不收敛点集的测度为零。
步骤 4：结论
由于不收敛点集的测度为零，所以 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$。
“基本上”一致收敛意味着对于任意 $\delta > 0$，存在可测子集 $E_\delta \subset E$，满足 $m(E \setminus E_\delta) < \delta$，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f(x)$。其中 $m$ 表示测度。
步骤 2：定义不收敛点集
设 $E_0 = E[\lim_{n \to \infty} f_n \neq f]$，即不收敛点集。根据“基本上”一致收敛的定义，$E_0 \subseteq E \setminus E_\delta$，因为 $E_\delta$ 上 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $f(x)$，所以 $E_\delta$ 上不存在不收敛点。
步骤 3：测度的性质
由于 $E_0 \subseteq E \setminus E_\delta$，根据测度的单调性，有 $m(E_0) \leq m(E \setminus E_\delta) < \delta$。由于 $\delta$ 可以任意小，令 $\delta \to 0$，则 $m(E_0) = 0$，即不收敛点集的测度为零。
步骤 4：结论
由于不收敛点集的测度为零，所以 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$。