题目

求函数(x,y)=(e)^2x(x+(y)^2+2y) 的极值。

求函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。

题目解答

答案

对于二元函数 $f\left(x,y\right)$ ，求极值的步骤为：

（1）求函数的驻点（即满足 $f'_x\left(x_0,y_0\right)=0,f'_y\left(x_0,y_0\right)=0$ 的点）；

（2）利用极值充分条件：

$A=f''_{xx}\left(x_0,y_0\right),B=f''_{xy}\left(x_0,y_0\right),C=f''_{yy}\left(x_0,y_0\right)$

若 $AC-B^2>0$ ， $\left(x_0,y_0\right)$ 为极值点：A<0，为极大值点；A>0，为极小值点。若 $AC-B^2<0$ ， $\left(x_0,y_0\right)$ 不为极值点。由此判定驻点是否为极值点。

本题函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$

求一阶偏导数：

$f'_x(x,y)=2e^{2x}(x+y^2+2y)+e^{2x}=e^{2x}\left(2x+2y^2+4y+1\right)$

$f'_y(x,y)=e^{2x}(2y+2)$

令 $f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$ ,可得驻点： $x_0=\frac{1}{2},y_0=-1$ .

继续求二阶偏导数：

$f''_{xx}(x,y)=4e^{2x}(x+y^2+2y)+2e^{2x}+2e^{2x}=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)$

$f''_{xy}(x,y)=e^{2x}\left(4y+4\right)$

$f''_{yy}(x,y)=2e^{2x}$

可得： $A=f''_{xx}(x_0,y_0)=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=4e^{2x}\left(x+y^2+2y+1\right)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=2e$

$B=f''_{xy}\left(x_0,y_0\right)=e^{2x}\left(4y+4\right)\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=e^{2x}\left(4y+4\right)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=0$ $C=f''_{yy}(x_0,y_0)=2e^{2x}\mid_{\left(x_0,y_0\right)}=2e^{2x}\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=2e$

由极值充分条件进行判断求解： $AC-B^2=2e\cdot2e-0^2=4e^2>0,A=2e>0$

故 $\left(x_0,y_0\right)=\left(\frac{1}{2},-1\right)$ 为极小值点，极小值为 $f(x_0,y_0)=f\left(\frac{1}{2},-1\right)=e^{2x}(x+y^2+2y)\mid_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}=e^{2\cdot\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}+\left(-1\right)^2-2\right)=-\frac{1}{2}e$

故函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极小值为 $-\frac{1}{2}e$ .

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶偏导数的计算以及极值的充分条件判断。

解题核心思路：

求驻点：通过求一阶偏导数并解方程组，找到可能的极值点。
二阶偏导数计算：计算二阶偏导数，构建判别式$AC - B^2$。
极值判断：根据判别式的结果及$A$的符号，确定驻点是否为极值点及其类型。

破题关键点：

正确求解一阶偏导数，特别注意乘积法则的应用。
代入驻点计算二阶偏导数时，需准确代入坐标值。
判别式的符号分析是判断极值类型的核心。

求驻点

计算一阶偏导数：
- 对$x$求偏导：
  $f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{2x}(x + y^2 + 2y) \right) = e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1)$
- 对$y$求偏导：
  $f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{2x}(x + y^2 + 2y) \right) = e^{2x}(2y + 2)$
解方程组：
- 令$f_y = 0$，得$2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -1$。
- 代入$f_x = 0$，得：
  $e^{2x}(2x + 2(-1)^2 + 4(-1) + 1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
- 驻点为$\left( \frac{1}{2}, -1 \right)$。

二阶偏导数与极值判断

计算二阶偏导数：
- $f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1) \right) = e^{2x}(4x + 4y^2 + 8y + 4)$
- $f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1) \right) = e^{2x}(4y + 4)$
- $f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{2x}(2y + 2) \right) = 2e^{2x}$
代入驻点：
- $A = f_{xx}\left( \frac{1}{2}, -1 \right) = 2e$
- $B = f_{xy}\left( \frac{1}{2}, -1 \right) = 0$
- $C = f_{yy}\left( \frac{1}{2}, -1 \right) = 2e$
判别式：
$AC - B^2 = (2e)(2e) - 0^2 = 4e^2 > 0, \quad A = 2e > 0$
因此，$\left( \frac{1}{2}, -1 \right)$为极小值点。

计算极小值

$f\left( \frac{1}{2}, -1 \right) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} + (-1)^2 + 2(-1) \right) = e \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2}e$