设平面图形 D 由曲线 y=(1)/(x)、直线 y=x 及 x=3 所围成的部分，求 D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积。

我们要求的是由曲线 $ y = \frac{1}{x} $、直线 $ y = x $ 和直线 $ x = 3 $ 所围成的平面图形 $ D $，绕 $ x $ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

第一步：理解图形区域 $ D $

我们分析由以下三条曲线围成的区域：

1. $ y = \frac{1}{x} $：双曲线，在第一象限中随 $ x $ 增大而递减。
2. $ y = x $：过原点的直线，斜率为1。
3. $ x = 3 $：垂直于 $ x $-轴的直线。

我们要找的是这三条曲线围成的封闭区域。注意，$ y = \frac{1}{x} $ 和 $ y = x $ 会在某点相交，这个交点是区域的左边界。

第二步：求交点

求 $ y = x $ 与 $ y = \frac{1}{x} $ 的交点：

$x = \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad (\text{取} x > 0，因为 } y = \frac{1}{x} \text{ 在 } x>0 \text{ 与 } y=x \text{ 同在第一象限})$

所以交点为 $ x = 1 $，此时 $ y = 1 $。

再看 $ x = 3 $，这是右边界。

因此，区域 $ D $ 的 $ x $ 范围是从 $ x = 1 $ 到 $ x = 3 $。

在这个区间 $ [1, 3] $ 上，比较 $ y = x $ 和 $ y = \frac{1}{x} $ 的大小：

• 当 $ x > 1 $ 时，$ x > \frac{1}{x} $，所以在 $ [1,3] $ 上，$ y = x $ 在上，$ y = \frac{1}{x} $ 在下。

因此，区域 $ D $ 是在 $ x \in [1, 3] $ 上，由上曲线 $ y = x $ 和下曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 所围成的部分。

第三步：旋转体体积（圆盘法）

绕 $ x $-轴旋转，使用圆盘法（washer method），体积公式为：

$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ R_{\text{外}}(x)^2 - R_{\text{内}}(x)^2 \right] dx$

其中：

• $ R_{\text{外}}(x) $ 是上曲线到 $ x $-轴的距离（即上函数值），
• $ R_{\text{内}}(x) $ 是下曲线到 $ x $-轴的距离（即下函数值）。

在这里：

• 上曲线：$ y = x $，所以 $ R_{\text{外}} = x $
• 下曲线：$ y = \frac{1}{x} $，所以 $ R_{\text{内}} = \frac{1}{x} $
• 积分区间：$ x \in [1, 3] $

所以体积为：

$V = \pi \int_{1}^{3} \left[ x^2 - \left( \frac{1}{x} \right)^2 \right] dx = \pi \int_{1}^{3} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx$

第四步：计算积分

我们计算：

$\int_{1}^{3} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = \int_{1}^{3} x^2 \, dx - \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx$

分别计算：

1. $ \int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} $

2. $ \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^3 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} $

所以：

$\int_{1}^{3} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = \frac{26}{3} - \frac{2}{3} = \frac{24}{3} = 8$

第五步：乘以 $ \pi $

$V = \pi \cdot 8 = 8\pi$

最终答案：

$\boxed{8\pi}$

这是平面图形 $ D $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所得旋转体的体积。