4.设函数f(x)=(ln|x|)/(|x-1|)sin x,则f(x)有( ) (A.)1个可去间断点,1个跳跃间断点. (B.)1个可去间断点,1个无穷间断点. (C.)2个跳跃间断点. (D.)2个无穷间断点.

为了确定函数 $ f(x) = \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x $ 的间断点，我们需要分析函数在可能的间断点处的行为，这些点是分母为零或分子分母同时为零的点。这些点是 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $。 ### 步骤1: 分析 $ x = 0 $ 处的间断点 函数在 $ x = 0 $ 处的值为 $ f(0) = \frac{\ln|0|}{|0-1|} \sin 0 $。由于 $ \ln|0| $ 趋向于 $-\infty$，而 $ \sin 0 = 0 $，我们需要检查极限 $ \lim_{x \to 0} f(x) $。 \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x \] 由于 $ |x-1| $ 在 $ x $ 接近 0 时接近 1，我们可以简化极限为： \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \ln|x| \sin x \] 使用洛必达法则，我们得到： \[ \lim_{x \to 0} \ln|x| \sin x = \lim_{x \to 0} \frac{\ln|x|}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to 0} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x} \] 由于 $ \sin x \approx x $ 当 $ x $ 接近 0 时，我们有： \[ \lim_{x \to 0} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x} \approx \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} -\frac{x}{\cos x} = 0 \] 因此， $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $。由于极限存在但函数在 $ x = 0 $ 处未定义， $ x = 0 $ 是一个可去间断点。 ### 步骤2: 分析 $ x = 1 $ 处的间断点 函数在 $ x = 1 $ 处的值为 $ f(1) = \frac{\ln|1|}{|1-1|} \sin 1 $。由于 $ \ln|1| = 0 $ 和 $ |1-1| = 0 $，我们需要检查极限 $ \lim_{x \to 1} f(x) $。 \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x \] 由于 $ \sin x $ 在 $ x $ 接近 1 时接近 $ \sin 1 $，我们可以简化极限为： \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \sin 1 \lim_{x \to 1} \frac{\ln|x|}{|x-1|} \] 使用洛必达法则，我们得到： \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln|x|}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\pm 1} = \pm 1 \] 因此， $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \sin 1 $ 和 $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\sin 1 $。由于左右极限存在但不相等， $ x = 1 $ 是一个跳跃间断点。 ### 结论 函数 $ f(x) = \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x $ 有一个可去间断点 $ x = 0 $ 和一个跳跃间断点 $ x = 1 $。 正确答案是 $\boxed{A}$。