题目
设A是秩为m的 times n 矩阵,且 lt n, 则非齐次线性方程组 AX=b __ ...A.设A是秩为m的 times n 矩阵,且 lt n, 则非齐次线性方程组 AX=b __ ...B.设A是秩为m的 times n 矩阵,且 lt n, 则非齐次线性方程组 AX=b __ ...C.设A是秩为m的 times n 矩阵,且 lt n, 则非齐次线性方程组 AX=b __ ...D.设A是秩为m的 times n 矩阵,且 lt n, 则非齐次线性方程组 AX=b __ ...
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解矩阵的秩和方程组解的关系
矩阵A的秩为m，表示矩阵A的行空间的维度为m。由于矩阵A是 $m\times n$ 的，且 $m\lt n$，这意味着矩阵A的列空间的维度为m，而列空间的维度小于列数，说明矩阵A的列向量组线性相关，即存在非零解。
步骤 2：分析非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组AX=b的解可以分为两部分：齐次线性方程组AX=0的解和非齐次线性方程组AX=b的一个特解。由于矩阵A的秩为m，且m小于n，齐次线性方程组AX=0有非零解，即存在无穷多解。因此，非齐次线性方程组AX=b的解集为齐次线性方程组AX=0的解集加上非齐次线性方程组AX=b的一个特解，即非齐次线性方程组AX=b有无穷多解。
步骤 3：确定正确答案
根据上述分析，非齐次线性方程组AX=b有无穷多解，因此正确答案为C。
矩阵A的秩为m，表示矩阵A的行空间的维度为m。由于矩阵A是 $m\times n$ 的，且 $m\lt n$，这意味着矩阵A的列空间的维度为m，而列空间的维度小于列数，说明矩阵A的列向量组线性相关，即存在非零解。
步骤 2：分析非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组AX=b的解可以分为两部分：齐次线性方程组AX=0的解和非齐次线性方程组AX=b的一个特解。由于矩阵A的秩为m，且m小于n，齐次线性方程组AX=0有非零解，即存在无穷多解。因此，非齐次线性方程组AX=b的解集为齐次线性方程组AX=0的解集加上非齐次线性方程组AX=b的一个特解，即非齐次线性方程组AX=b有无穷多解。
步骤 3：确定正确答案
根据上述分析，非齐次线性方程组AX=b有无穷多解，因此正确答案为C。