将函数展开为麦克劳林级数，以下处理不合适（）A. (1-x)/(1-x^3)=1-x+x^2-x^3+...+x^3n-x^3n+1+..., |x|B. (e^x-1)/(x)=sum_(n=1)^infty(1)/(n!)x^n-1, |x| >0C. (1)/(1-x+x^2)=sum_(n=0)^infty(x-x^2)^n, 0D. sin^2 x=(1)/(2)(1-cos 2x)=(1)/(2)sum_(n=1)^infty(-1)^n-1(x^2n)/((2n)!), |x|

本题主要考查函数展开为麦克劳林级数的相关知识，解题思路是根据常见函数的麦克劳林级数展开式以及级数展开的条件，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^n$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$。
令$t = x^3$，则$\frac{1}{1 - x^3}=\sum_{n = 0}^{\infty}(x^3)^n=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{3n}$，收敛区间为$\vert x^3\vert\lt 1$，即$\vert x\vert\lt 1$。
那么$\frac{1 - x}{1 - x^3}=\frac{1}{1 - x^3}-\frac{x}{1 - x^3}$
$=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{3n}-x\sum_{n = 0}^{\infty}x^{3n}=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{3n}-\sum_{n = 0}^{\infty}x^{3n + 1}$
$=1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + x^{3n} - x^{3n + 1} + \cdots$，收敛区间为$\vert x\vert\lt 1$，所以选项A处理合适。

选项B

已知$e^x=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$，其收敛区间为$\vert x\vert\lt +\infty$。
则$\frac{e^x - 1}{x}=\frac{\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n - 1}{x}=\frac{\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n}{x}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n - 1}$。
因为$e^x$展开式在$\vert x\vert\lt +\infty$都成立，当$x = 0$时，$\frac{e^x - 1}{x}$无意义，但在去心邻域$\vert x\vert\gt 0$内是可以展开的，不过该展开式的收敛区间应该是$\vert x\vert\lt +\infty$（$x\neq 0$），而不是$\vert x\vert\gt 0$，所以选项B处理不合适。

选项C

已知$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^n$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$。
令$t = x - x^2$，则$\frac{1}{1 - x + x^2}=\sum_{n = 0}^{\infty}(x - x^2)^n$。
对于$\vert x - x^2\vert\lt 1$，当$0\lt x\lt 1$时，$\vert x - x^2\vert=\vert x(1 - x)\vert\lt 1$成立，所以在$0\lt x\lt 1$这个区间内展开是合适的，选项C处理合适。

选项D

已知$\cos t=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt +\infty$。
令$t = 2x$，则$\cos 2x=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$。
又因为$\sin^2 x=\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)$，所以$\sin^2 x=\frac{1}{2}\left(1 - \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$，收敛区间为$\vert x\vert\lt +\infty$，选项D处理合适。