题目
设f(x)= { x+4,xgt 2 .D 都不存在
设
则
D 都不存在
题目解答
答案
∵
故答案选C
解析
步骤 1：计算左导数
根据导数的定义，计算函数在$x=2$处的左导数$f_{-}^{'}(2)$。左导数是当$x$从左侧趋近于$2$时，函数$f(x)$的变化率。对于$x\leqslant 2$，函数$f(x)=x^{2}+1$，因此：
$$f_{-}^{'}(2)=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {x^{2}+1-5}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}(x+2)=4$$
步骤 2：计算右导数
同样地，计算函数在$x=2$处的右导数$f_{+}^{'}(2)$。右导数是当$x$从右侧趋近于$2$时，函数$f(x)$的变化率。对于$x>2$，函数$f(x)=\dfrac {1}{2}x+4$，因此：
$$f_{+}^{'}(2)=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {\dfrac {1}{2}x+4-5}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}$$
步骤 3：判断导数是否存在
由于$f_{-}^{'}(2)\neq f_{+}^{'}(2)$，即左导数和右导数不相等，因此函数$f(x)$在$x=2$处不可导，即$f^{'}(2)$不存在。
根据导数的定义，计算函数在$x=2$处的左导数$f_{-}^{'}(2)$。左导数是当$x$从左侧趋近于$2$时，函数$f(x)$的变化率。对于$x\leqslant 2$，函数$f(x)=x^{2}+1$，因此：
$$f_{-}^{'}(2)=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {x^{2}+1-5}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}(x+2)=4$$
步骤 2：计算右导数
同样地，计算函数在$x=2$处的右导数$f_{+}^{'}(2)$。右导数是当$x$从右侧趋近于$2$时，函数$f(x)$的变化率。对于$x>2$，函数$f(x)=\dfrac {1}{2}x+4$，因此：
$$f_{+}^{'}(2)=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {\dfrac {1}{2}x+4-5}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}$$
步骤 3：判断导数是否存在
由于$f_{-}^{'}(2)\neq f_{+}^{'}(2)$，即左导数和右导数不相等，因此函数$f(x)$在$x=2$处不可导，即$f^{'}(2)$不存在。