质点在力vec(F) = x^2 vec(i) - xy vec(j)的作用下沿着曲线L: x = cos t, y = sin t从点A(1,0)移动到点B(0,1)时所作的功W=(). A. -1B. 1C. -(2)/(3)D. (2)/(3)

为了求出质点在力 $ \mathbf{F} = x^2 \mathbf{i} - xy \mathbf{j} $ 的作用下沿着曲线 $ L: x = \cos t, y = \sin t $ 从点 $ A(1,0) $ 移动到点 $ B(0,1) $ 时所作的功 $ W $，我们需要计算力沿曲线的线积分。功 $ W $ 由下式给出： \[ W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \] 其中 $ \mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} $ 是位置向量，$ d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt = (-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}) dt $。 力 $ \mathbf{F} $ 在曲线上的表达式为： \[ \mathbf{F}(x(t), y(t)) = (\cos^2 t) \mathbf{i} - (\cos t \sin t) \mathbf{j} \] 因此，点积 $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ 为： \[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (\cos^2 t \mathbf{i} - \cos t \sin t \mathbf{j}) \cdot (-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}) dt = (-\cos^2 t \sin t - \cos t \sin t \cos t) dt = (-\cos^2 t \sin t - \cos^2 t \sin t) dt = -2 \cos^2 t \sin t dt \] 功 $ W $ 是这个点积从 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{2} $ 的积分： \[ W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} -2 \cos^2 t \sin t \, dt \] 为了计算这个积分，我们可以使用代换 $ u = \cos t $。那么 $ du = -\sin t \, dt $，积分的上下限从 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{2} $ 变为 $ u = 1 $ 到 $ u = 0 $： \[ W = \int_1^0 -2 u^2 (-du) = \int_1^0 2 u^2 \, (-du) = \int_0^1 2 u^2 \, du \] 现在，我们可以计算积分： \[ W = 2 \int_0^1 u^2 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] 因此，质点所作的功 $ W $ 为： \[ \boxed{\frac{2}{3}} \] 正确选项是 $\boxed{D}$。