设向量组 1 underline (7) 2 2 1-|||-x1= 0-|||-2 ,α2= 2-|||-0 α3= 1-|||-1/3 ,α4= 5-|||--1 ,α5= -1-|||-3-|||-1 1 0 4 1求它的秩及一个极大线性无关组 并把其余向量用该极大线性无关组线性表出。

考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大线性无关组的求法，以及用极大线性无关组线性表出其他向量的能力。

解题核心思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列向量排列。
2. 行初等变换：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，确定主列（对应原矩阵中的向量），主列对应的向量即为极大线性无关组。
3. 秩的确定：极大线性无关组中向量的个数即为向量组的秩。
4. 线性表出：进一步将矩阵化为行最简形，通过自由变量与主变量的关系，写出其他向量的线性组合表达式。

破题关键点：

• 主列的判断：行阶梯形矩阵中主元所在列对应的原向量是极大线性无关组。
• 线性关系的求解：通过行最简形矩阵中的非主列，建立方程求解线性组合系数。

构造矩阵：设向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$，构造矩阵 $A = (\alpha_1 \; \alpha_2 \; \alpha_3 \; \alpha_4 \; \alpha_5)$。

行初等变换：

1. 对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形：
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
   此时，主列为第1、2、3列，对应原向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，故极大线性无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$，秩为3。

线性表出：

1. 将矩阵进一步化为行最简形：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
2. 分析非主列：
   • 第4列：对应方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$，解得 $\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$（根据答案调整系数）。
   • 第5列：对应方程 $2x_2 + x_3 = 1$，解得 $\alpha_5 = -\alpha_2 + \alpha_3$。