计算下列积分的值。(1) int_(-infty)^+infty sin(t) delta(t-(pi)/(4)) dt;(2) int_(-4)^+6 e^-2t delta(t+8) dt;(3) int_(-5)^0 e^-t delta(2t+2) dt;(4) int_(0)^4 (t+2) delta(2-4t) dt;(5) int_(-infty)^+infty e^-jomega t [ delta(t+T) - delta(t-T) ] dt;(6) int_(-infty)^+infty e^-2(t-tau) delta(tau-3) dtau;(7) int_(-2)^3 delta'(t-1) e^-3t u(t) dt;(8) int_(1)^3 delta'(t+2) sin(3t) dt.
计算下列积分的值。 (1) $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(t) \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) dt$; (2) $\int_{-4}^{+6} e^{-2t} \delta(t+8) dt$; (3) $\int_{-5}^{0} e^{-t} \delta(2t+2) dt$; (4) $\int_{0}^{4} (t+2) \delta(2-4t) dt$; (5) $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} \left[ \delta(t+T) - \delta(t-T) \right] dt$; (6) $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2(t-\tau)} \delta(\tau-3) d\tau$; (7) $\int_{-2}^{3} \delta'(t-1) e^{-3t} u(t) dt$; (8) $\int_{1}^{3} \delta'(t+2) \sin(3t) dt$.
题目解答
答案
我们来逐题分析并计算这些积分。所有积分都涉及 狄拉克δ函数（Dirac delta function） 或其导数，因此我们需要用到δ函数的基本性质。
基本性质回顾：
-
δ函数的定义：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t - a) dt = f(a)$
如果积分区间包含点 $ t = a $，则积分值为 $ f(a) $，否则为 0。 -
缩放性质：
$\delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t)$ -
导数性质：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta'(t - a) dt = -f'(a)$ -
单位阶跃函数 $ u(t) $：
$u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases}$
(1)
$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(t) \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) dt$
直接使用δ函数性质：
$= \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
✅ 答案： $ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}} $
(2)
$\int_{-4}^{+6} e^{-2t} \delta(t+8) dt$
δ函数的点 $ t = -8 $，但积分区间是 $[-4, 6]$，不包含 $-8$，所以：
✅ 答案： $ \boxed{0} $
(3)
$\int_{-5}^{0} e^{-t} \delta(2t+2) dt$
先化简δ函数：
$\delta(2t + 2) = \delta(2(t + 1)) = \frac{1}{2} \delta(t + 1)$
所以积分变为：
$\int_{-5}^{0} e^{-t} \cdot \frac{1}{2} \delta(t + 1) dt = \frac{1}{2} e^{-(-1)} = \frac{1}{2} e$
✅ 答案： $ \boxed{\frac{e}{2}} $
(4)
$\int_{0}^{4} (t+2) \delta(2 - 4t) dt$
令 $ 2 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} $，在积分区间 $[0, 4]$ 内。
使用缩放性质：
$\delta(2 - 4t) = \delta(4(t - \frac{1}{2})) = \frac{1}{4} \delta(t - \frac{1}{2})$
代入积分：
$\int_{0}^{4} (t+2) \cdot \frac{1}{4} \delta(t - \frac{1}{2}) dt = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{8}$
✅ 答案： $ \boxed{\frac{5}{8}} $
(5)
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} \left[ \delta(t+T) - \delta(t-T) \right] dt$
分别计算两个积分：
- $ \int e^{-j\omega t} \delta(t + T) dt = e^{-j\omega (-T)} = e^{j\omega T} $
- $ \int e^{-j\omega t} \delta(t - T) dt = e^{-j\omega T} $
所以结果为：
$e^{j\omega T} - e^{-j\omega T} = 2j \sin(\omega T)$
✅ 答案： $ \boxed{2j \sin(\omega T)} $
(6)
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2(t-\tau)} \delta(\tau-3) d\tau$
将 $ \tau $ 看作变量，$ t $ 是常数。
$= e^{-2(t - 3)} = e^{-2t + 6}$
✅ 答案： $ \boxed{e^{-2t + 6}} $
(7)
$\int_{-2}^{3} \delta'(t-1) e^{-3t} u(t) dt$
使用导数性质：
$\int f(t) \delta'(t - a) dt = -f'(a)$
令 $ f(t) = e^{-3t} u(t) $，则：
$f'(t) = -3 e^{-3t} u(t) + e^{-3t} \delta(t)$
在 $ t = 1 $ 处，$ u(1) = 1 $，所以：
$f'(1) = -3 e^{-3} \cdot 1 = -3 e^{-3}$
所以积分值为：
$-f'(1) = 3 e^{-3}$
✅ 答案： $ \boxed{3 e^{-3}} $
(8)
$\int_{1}^{3} \delta'(t+2) \sin(3t) dt$
令 $ f(t) = \sin(3t) $，则：
$\int f(t) \delta'(t + 2) dt = -f'(-2)$
计算导数：
$f'(t) = 3 \cos(3t) \Rightarrow f'(-2) = 3 \cos(-6) = 3 \cos(6)$
所以积分值为：
$-f'(-2) = -3 \cos(6)$
✅ 答案： $ \boxed{-3 \cos(6)} $
✅ 最终答案汇总：
- $ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}} $
- $ \boxed{0} $
- $ \boxed{\frac{e}{2}} $
- $ \boxed{\frac{5}{8}} $
- $ \boxed{2j \sin(\omega T)} $
- $ \boxed{e^{-2t + 6}} $
- $ \boxed{3 e^{-3}} $
- $ \boxed{-3 \cos(6)} $
解析
本题考查狄拉克δ函数（Dirac delta function）及其导数的积分性质。解题核心在于：
- 筛选性质：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t-a)dt = f(a)$（若积分区间包含$a$，否则为0）；
- 缩放性质：$\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$；
- 导数性质：$\int f(t)\delta'(t-a)dt = -f'(a)$；
- 单位阶跃函数$u(t)$的定义。
(1) $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(t) \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) dt$
筛选性质直接应用：积分区间包含$t=\frac{\pi}{4}$，结果为$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) $\int_{-4}^{+6} e^{-2t} \delta(t+8) dt$
检查积分区间：$\delta(t+8)$对应$t=-8$，但积分区间$[-4,6]$不包含$-8$，结果为$0$。
(3) $\int_{-5}^{0} e^{-t} \delta(2t+2) dt$
缩放性质：$\delta(2t+2) = \frac{1}{2}\delta(t+1)$，积分变为$\frac{1}{2}e^{-(-1)} = \frac{e}{2}$。
(4) $\int_{0}^{4} (t+2) \delta(2-4t) dt$
求奇点位置：$2-4t=0 \Rightarrow t=\frac{1}{2}$，缩放后$\delta(2-4t) = \frac{1}{4}\delta(t-\frac{1}{2})$，结果为$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+2\right) = \frac{5}{8}$。
(5) $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} \left[ \delta(t+T) - \delta(t-T) \right] dt$
分项计算：$\int e^{-j\omega t}\delta(t+T)dt = e^{j\omega T}$，$\int e^{-j\omega t}\delta(t-T)dt = e^{-j\omega T}$，结果为$2j\sin(\omega T)$。
(6) $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2(t-\tau)} \delta(\tau-3) d\tau$
变量替换：$\delta(\tau-3)$对应$\tau=3$，代入得$e^{-2(t-3)} = e^{-2t+6}$。
(7) $\int_{-2}^{3} \delta'(t-1) e^{-3t} u(t) dt$
导数性质：$f(t) = e^{-3t}u(t)$，$f'(t) = -3e^{-3t}u(t) + e^{-3t}\delta(t)$，在$t=1$处$f'(1) = -3e^{-3}$，结果为$3e^{-3}$。
(8) $\int_{1}^{3} \delta'(t+2) \sin(3t) dt$
导数性质：$f(t) = \sin(3t)$，$f'(t) = 3\cos(3t)$，在$t=-2$处$f'(-2) = 3\cos(6)$，结果为$-3\cos(6)$。