题目
1.计算二重积分 iintlimits_(D)(x-y^2)dxdy，其中D=(x,y)|0le xle 1,0le yle x.
1.计算二重积分$ \iint\limits_{D}(x-y^{2})dxdy$，其中$D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le x\}.$
题目解答
答案
为了计算二重积分 $\iint\limits_{D}(x-y^{2})\,dxdy$，其中 $D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le x\}$，我们将按照以下步骤进行：
1. **将二重积分表示为迭代积分**：
由于区域 $D$ 由 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le x$ 定义，我们可以将二重积分写为：
\[
\iint\limits_{D}(x-y^{2})\,dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x-y^{2})\,dydx.
\]
2. **关于 $y$ 进行内积分**：
首先，我们需要关于 $y$ 积分函数 $x - y^2$：
\[
\int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = \int_{0}^{x} x\,dy - \int_{0}^{x} y^2\,dy.
\]
第一个积分是：
\[
\int_{0}^{x} x\,dy = x \left[ y \right]_{0}^{x} = x \cdot x - x \cdot 0 = x^2.
\]
第二个积分是：
\[
\int_{0}^{x} y^2\,dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{x^3}{3}.
\]
因此，内积分的结果是：
\[
\int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = x^2 - \frac{x^3}{3}.
\]
3. **关于 $x$ 进行外积分**：
现在我们需要关于 $x$ 积分结果 $x^2 - \frac{x^3}{3}$：
\[
\int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \int_{0}^{1} x^2\,dx - \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx.
\]
第一个积分是：
\[
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.
\]
第二个积分是：
\[
\int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^3\,dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
\]
因此，外积分的结果是：
\[
\int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.
\]
因此，二重积分的值是 $\boxed{\frac{1}{4}}$。
解析
步骤 1：将二重积分表示为迭代积分
由于区域 $D$ 由 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le x$ 定义，我们可以将二重积分写为：
\[ \iint\limits_{D}(x-y^{2})\,dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x-y^{2})\,dydx. \]
步骤 2：关于 $y$ 进行内积分
首先，我们需要关于 $y$ 积分函数 $x - y^2$：
\[ \int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = \int_{0}^{x} x\,dy - \int_{0}^{x} y^2\,dy. \]
第一个积分是：
\[ \int_{0}^{x} x\,dy = x \left[ y \right]_{0}^{x} = x \cdot x - x \cdot 0 = x^2. \]
第二个积分是：
\[ \int_{0}^{x} y^2\,dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{x^3}{3}. \]
因此，内积分的结果是：
\[ \int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = x^2 - \frac{x^3}{3}. \]
步骤 3：关于 $x$ 进行外积分
现在我们需要关于 $x$ 积分结果 $x^2 - \frac{x^3}{3}$：
\[ \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \int_{0}^{1} x^2\,dx - \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx. \]
第一个积分是：
\[ \int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}. \]
第二个积分是：
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^3\,dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}. \]
因此，外积分的结果是：
\[ \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}. \]
由于区域 $D$ 由 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le x$ 定义，我们可以将二重积分写为：
\[ \iint\limits_{D}(x-y^{2})\,dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x-y^{2})\,dydx. \]
步骤 2：关于 $y$ 进行内积分
首先，我们需要关于 $y$ 积分函数 $x - y^2$：
\[ \int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = \int_{0}^{x} x\,dy - \int_{0}^{x} y^2\,dy. \]
第一个积分是：
\[ \int_{0}^{x} x\,dy = x \left[ y \right]_{0}^{x} = x \cdot x - x \cdot 0 = x^2. \]
第二个积分是：
\[ \int_{0}^{x} y^2\,dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{x^3}{3}. \]
因此，内积分的结果是：
\[ \int_{0}^{x} (x - y^2)\,dy = x^2 - \frac{x^3}{3}. \]
步骤 3：关于 $x$ 进行外积分
现在我们需要关于 $x$ 积分结果 $x^2 - \frac{x^3}{3}$：
\[ \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \int_{0}^{1} x^2\,dx - \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx. \]
第一个积分是：
\[ \int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}. \]
第二个积分是：
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^3\,dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}. \]
因此，外积分的结果是：
\[ \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}. \]