42.求极限lim_(xtoinfty)[x-x^2ln(1+(1)/(x))].

令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$。原极限变为： \[ \lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) \right] \] 利用泰勒展开式 $\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，代入得： \[ \lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \left( t - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \right) \right] = \lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{2} - \frac{o(t^2)}{t^2} \right] = \frac{1}{2} \] 或者使用洛必达法则： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \frac{1}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1 + t)} = \frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$