题目
[例3]已知 |a|=2, |b|=sqrt (2), 且 cdot b=2, 则 |atimes b|= __ ..-|||-(A)2. (B) sqrt (2). (C) dfrac (sqrt {2)}(2) (D)1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算向量 a 和 b 的夹角
已知 $|a|=2$，$|b|=\sqrt{2}$，且 $a\cdot b=2$。根据向量点积的定义，$a\cdot b=|a||b|\cos(\theta)$，其中 $\theta$ 是向量 a 和 b 的夹角。将已知值代入，得到 $2=2\sqrt{2}\cos(\theta)$，从而 $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此 $\theta=\frac{\pi}{4}$。
步骤 2：计算向量 a 和 b 的叉积的模
向量 a 和 b 的叉积的模 $|a\times b|$ 可以通过公式 $|a\times b|=|a||b|\sin(\theta)$ 计算。已知 $|a|=2$，$|b|=\sqrt{2}$，$\theta=\frac{\pi}{4}$，代入公式得到 $|a\times b|=2\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4})$。由于 $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此 $|a\times b|=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=2$。
已知 $|a|=2$，$|b|=\sqrt{2}$，且 $a\cdot b=2$。根据向量点积的定义，$a\cdot b=|a||b|\cos(\theta)$，其中 $\theta$ 是向量 a 和 b 的夹角。将已知值代入，得到 $2=2\sqrt{2}\cos(\theta)$，从而 $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此 $\theta=\frac{\pi}{4}$。
步骤 2：计算向量 a 和 b 的叉积的模
向量 a 和 b 的叉积的模 $|a\times b|$ 可以通过公式 $|a\times b|=|a||b|\sin(\theta)$ 计算。已知 $|a|=2$，$|b|=\sqrt{2}$，$\theta=\frac{\pi}{4}$，代入公式得到 $|a\times b|=2\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4})$。由于 $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此 $|a\times b|=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=2$。