【真题35】求极限lim_(xtoinfty)x^2(e^(1)/(x^(2))-1).
题目解答
答案
令 $u = \frac{1}{x^2}$，则当 $x \to \infty$ 时，$u \to 0$。利用指数函数的泰勒展开式 $e^u \approx 1 + u$（当 $u \to 0$ 时），得：
$e^{\frac{1}{x^2}} - 1 \approx \frac{1}{x^2}$
因此，原极限可化简为：
$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(e^{\frac{1}{x^2}} - 1\right) = \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1$
或者，使用等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$（当 $u \to 0$ 时），得：
$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(e^{\frac{1}{x^2}} - 1\right) \sim \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1$
答案： $\boxed{1}$
解析
本题主要考察极限计算中等价无穷小替换或泰勒展开的应用，核心是利用当变量趋近于0时指数函数的近似性质简化计算。
解题思路
题目要求计算极限$\lim_{x\to\infty}x^{2}(e^{\frac{1}{x^{2}}}-1)$，关键在于处理$e^{\frac{1}{x^2}} - 1$这一项。当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x^2}\to0$，记$u=\frac{1}{x^2}$，则问题转化为求$\lim_{u\to0}\frac{e^u - 1}{u}\cdot u^2\cdot\frac{1}{u^2}$？不，更直接的是：
方法1：等价无穷小替换
当$u\to0$时，$e^u - 1\sim u$（等价无穷小）。
此处$u=\frac{1}{x^2}$，当$x\to\infty$时$u\to0$，故：
$e^{\frac{1}{x^2}} - 1\sim\frac{1}{x^2}$
代入原式得：
$\lim_{x\to\infty}x^2\left(e^{\frac{1}{x^2}} - 1\right)\sim\lim_{x\to\infty}x^2\cdot\frac{1}{x^2}=1$
方法2：泰勒展开
$e^u$的泰勒展开式为$e^u=1 + u + o(u)$（当$u\to0$），则：
$e^{\frac{1}{x^2}} - 1=\frac{1}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)$
代入原式得：
$\lim_{x\to\infty}x^2\left[\frac{1}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]=\lim_{x\to\infty}\left[1 + o(1)\right]=1$