设A为三阶实对称可逆矩阵,将A的第一行的两倍加到第三行,再将第一行乘以2得到B,然后把矩阵B的第一列的两倍加到第三列,再将第一列乘2得到C,则矩阵A与C( ) (A)相似但不合同(B)合同但不相似(C)相似且合同(D)不相似也不合同

考查要点：本题主要考查矩阵的相似变换与合同变换的判定，需要理解行变换与列变换对矩阵性质的影响。

解题核心思路：

1. 相似变换要求存在可逆矩阵$P$，使得$C = P^{-1}AP$，通常涉及初等相似变换（如行列交换、倍乘、倍加）。
2. 合同变换要求存在可逆矩阵$P$，使得$C = P^TAP$，通常涉及行变换与列变换的组合。
3. 关键点在于分析题目中的行、列变换能否组合成$P^{-1}AP$或$P^TAP$的形式。

破题关键：

• 行变换对应左乘矩阵，列变换对应右乘矩阵。
• 若行变换矩阵与列变换矩阵互为转置，则整体变换为合同变换。
• 初等变换矩阵一般不满足正交性，因此相似性通常不成立。

步骤1：分析从A到B的行变换

1. 第一行的两倍加到第三行：左乘初等矩阵
   $E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
2. 第一行乘以2：左乘对角矩阵
   $E_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
3. 综合行变换矩阵：
   $E = E_1 E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

步骤2：分析从B到C的列变换

1. 第一列的两倍加到第三列：右乘初等矩阵
   $F_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
2. 第一列乘以2：右乘对角矩阵
   $F_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
3. 综合列变换矩阵：
   $F = F_2 F_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

步骤3：整体变换关系

• 最终矩阵C：
  $C = E A F.$
• 观察矩阵关系：
  若$F = E^T$，则$C = E A E^T$，符合合同变换定义。
  验证得$F = E^T$，因此A与C合同。

步骤4：相似性判定

• 相似变换要求$C = P^{-1}AP$，但$C = E A E^T$中，$E$一般不满足$E^{-1} = E^T$（除非$E$是正交矩阵）。
• 本题中$E$为初等矩阵组合，显然不正交，因此A与C不相似。