12.（10.0分）设一平面过点M_(0)(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程.

为了找到通过点 $ M_0(1,2,-1) $ 且垂直于平面 $ 3x - 4y + z + 16 = 0 $ 和 $ 4x - z + 6 = 0 $ 的平面方程，我们需要确定所求平面的法向量。一个平面的法向量垂直于该平面上的任何向量，而垂直于两个平面的平面的法向量平行于这两个平面的法向量的叉积。 首先，确定给定平面的法向量： - 平面 $ 3x - 4y + z + 16 = 0 $ 的法向量是 $ \mathbf{n}_1 = (3, -4, 1) $。 - 平面 $ 4x - z + 6 = 0 $ 的法向量是 $ \mathbf{n}_2 = (4, 0, -1) $。 接下来，计算叉积 $ \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 $： \[ \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-1) - (1)(0)) - \mathbf{j}((3)(-1) - (1)(4)) + \mathbf{k}((3)(0) - (-4)(4)) \] \[ = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(-3 - 4) + \mathbf{k}(0 + 16) = 4\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 16\mathbf{k} = (4, 7, 16) \] 因此，所求平面的法向量是 $ \mathbf{n} = (4, 7, 16) $。 现在，使用点法向量形式的平面方程，该方程由下式给出： \[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0 \] 其中 $ \mathbf{r} = (x, y, z) $ 是平面上任意点的位置向量，而 $ \mathbf{r}_0 = (1, 2, -1) $ 是平面上已知点的位置向量。代入法向量和点，我们得到： \[ (4, 7, 16) \cdot (x - 1, y - 2, z + 1) = 0 \] \[ 4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0 \] \[ 4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0 \] \[ 4x + 7y + 16z - 4 - 14 + 16 = 0 \] \[ 4x + 7y + 16z - 2 = 0 \] \[ 4x + 7y + 16z = 2 \] 因此，平面的方程是： \[ \boxed{4x + 7y + 16z = 2} \]