计算下列阶行列式

考查要点：本题主要考查行列式的初等行变换以及上三角（或下三角）行列式的性质。关键在于通过行变换将原行列式转化为上三角形式，从而快速计算其值。

解题思路：

1. 初等行变换：利用“一行加到另一行”不改变行列式值的性质，将第一行元素加到其他各行，使得下方元素变为零，形成上三角矩阵。
2. 对角线乘积：上三角行列式的值等于其对角线元素的乘积，直接计算即可。

破题关键：

• 构造上三角形式：通过行变换使左下方元素全为零。
• 对角线元素的确定：明确变换后对角线元素的具体值。

假设原行列式为 $n$ 阶，形式如下（具体元素未给出，但可通过答案推断结构）：

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\-1 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\-1 & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\-1 & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}$

步骤 1：初等行变换
将第一行依次加到第二行、第三行、…、第 $n$ 行，得到：

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\0 & a_{22}+1 & a_{23}+1 & \cdots & a_{2n}+1 \\0 & a_{32}+1 & a_{33}+1 & \cdots & a_{3n}+1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & a_{n2}+1 & a_{n3}+1 & \cdots & a_{nn}+1\end{vmatrix}$

此时，行列式变为上三角矩阵。

步骤 2：计算对角线乘积
根据上三角行列式的性质，其值等于对角线元素的乘积：

$\text{行列式值} = 1 \cdot (a_{22}+1) \cdot (a_{33}+1) \cdot \ldots \cdot (a_{nn}+1)$

关键结论：
若变换后所有对角线元素均为 $u$，则行列式值为 $u^n$。