一、填空题(本题满分30分，每小题6分)1、极限lim_(ntoinfty)(1)/(n^3)[1^2+3^2+...+(2n-1)^2]=____.
题目解答
答案
将和式 $1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2$ 表示为：
$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$
利用求和公式：
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n 1 = n$
代入得：
$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$
原极限为：
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \lim_{n\to\infty} \frac{4n^2 - 1}{3n^2} = \frac{4}{3}$
答案： $\boxed{\frac{4}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及奇数平方和的求和公式以及极限化简的能力。
解题核心思路：
- 将奇数的平方和展开为已知求和形式，利用平方和、线性和、常数和的公式进行化简；
- 代入极限表达式后，通过比较最高次项系数求解极限。
破题关键点：
- 正确展开奇数的平方项：$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$；
- 熟练应用求和公式：$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$，$\sum 1 = n$；
- 化简后提取最高次项，忽略低次项对极限的影响。
步骤1：展开奇数的平方和
将和式 $1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2$ 表示为求和形式：
$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$
步骤2：拆分为三个独立求和
利用求和线性性质，拆分为：
$4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$
步骤3：代入求和公式
分别代入已知公式：
- $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
- $\sum_{k=1}^n 1 = n$
代入后得：
$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$
步骤4：化简表达式
逐项化简：
- $4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
- $-4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = -2n(n+1)$
- $+n$
合并后通分：
$\frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$
进一步展开并整理分子：
$2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n = n(4n^2 - 1)$
步骤5：代入极限表达式
原极限变为：
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \lim_{n\to\infty} \frac{4n^2 - 1}{3n^2}$
步骤6：求极限
分子分母同除以 $n^2$：
$\lim_{n\to\infty} \frac{4 - \frac{1}{n^2}}{3} = \frac{4}{3}$