题目

20.[简答题]设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，这里μ(x,y)>0且在D上连续，求平面薄片的质量.

20.[简答题] 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，这里μ(x,y)>0且在D上连续，求平面薄片的质量.

题目解答

答案

这是一道关于二重积分物理应用的经典题目。我们需要求一个面密度不均匀的平面薄片的质量。

推理过程如下：

  1. 理解物理背景：
    平面薄片占有 $xOy$ 面上的闭区域 $D$。在点 $(x, y)$ 处的面密度为 $\mu(x, y)$。面密度是指单位面积上的质量。如果面密度是常数，那么质量 = 面密度 $\times$ 面积。但因为面密度 $\mu(x, y)$ 是随位置变化的连续函数，我们需要使用积分的方法来求总质量。

  2. 微元法（分割、近似、求和、取极限）：

    • 分割：将闭区域 $D$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域，记为 $\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \dots, \Delta\sigma_n$，其中 $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小区域的面积。
    • 近似：在每个小区域 $\Delta\sigma_i$ 内任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$。因为 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续，当小区域 $\Delta\sigma_i$ 很小时，可以近似认为该小区域上的面密度是均匀的，即为 $\mu(\xi_i, \eta_i)$。那么这个小区域 $\Delta\sigma_i$ 上的质量 $\Delta m_i$ 就可以近似表示为：
      $\Delta m_i \approx \mu(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$
    • 求和：整个平面薄片的质量 $m$ 近似等于所有这些小区域质量之和：
      $m \approx \sum_{i=1}^{n} \mu(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$
    • 取极限：令 $\lambda$ 表示所有小区域中直径的最大值。当 $\lambda \to 0$ 时，上述和式的极限即为平面薄片的精确质量：
      $m = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \mu(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$

  3. 转化为二重积分：
    根据二重积分的定义，上述极限正是函数 $\mu(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分。

结论：

平面薄片的质量 $m$ 可以表示为面密度函数 $\mu(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，即：
$m = \iint_D \mu(x, y) \,d\sigma$
（其中 $d\sigma$ 为面积元素，在直角坐标系下也可写作 $dx\,dy$）

解析

本题考查二重积分在物理中的应用，解题思路是利用微元法，将平面薄片分割成许多小区域，近似计算每个小区域的质量，再通过求和与取极限的过程，将其转化为二重积分来求解平面薄片的总质量。

  1. 分割区域：
    • 将闭区域 $D$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$，$\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小区域的面积。
  2. 近似计算小区域质量：
    • 在每个小区域 $\Delta\sigma_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$。由于 $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续，当 $\Delta\sigma_i$ 很小时，可近似认为该小区域上的面密度是均匀的，即为 $\mu(\xi_i,\eta_i)$。
    • 根据质量 = 面密度×面积，可得小区域 $\Delta\sigma_i$ 上的质量 $\Delta m_i$ 的近似值为 $\Delta m_i\approx\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
  3. 求和得到总质量的近似值：
    • 整个平面薄片的质量 $m$ 近似等于所有这些小区域质量之和，即 $m\approx\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
  4. 取极限得到精确质量：
    • 令 $\lambda$ 表示所有小区域中直径的最大值。当 $\lambda\to0$ 时，上述和式的极限即为平面薄片的精确质量，即 $m=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
  5. 转化为二重积分：
    • 根据二重积分的定义，$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i=\iint_D\mu(x,y)d\sigma$，其中 $d\sigma$ 为面积元素，在直角坐标系下也可写作 $dxdy$。