题目

8.证明:"I="I="I,其中 "I为n阶行列式.

8.证明:

$D_n$ = $\begin{vmatrix} 2cosx& 1& 0& ··· &0& 0 \newline 1 &2cosx& 1& ···& 0 &0 \newline 0& 1 &2cosx &···& 0 &0\newline ···& ···& ···& &···& ··· \newline 0 &0 &0 &···& 2cos⁡x& 1\newline 0 &0 &0 &··· &1& 2cos⁡x\end{vmatrix}$ = $\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}$ ,

其中 $D_n$ 为n阶行列式.

题目解答

答案

首先,计算出 $D_1和D_2$ 的值： $D_1$ = $2\cos xD_2=4\cos^2(x)-1=2(2\cos^2(x)-1)=2\cos(2x)$ 假设对于任意的k, $D_k$ = $\frac{\sin (n+1)x}{\sin x}$ 成立.接下来,展开 $D_{k+1}$ 的行列式： $D_{k+1}$ = $\begin{vmatrix} 2cosx& 1& 0& ··· &0& 0 \newline 1 &2cosx& 1& ···& 0 &0 \newline 0& 1 &2cosx &···& 0 &0\newline ···& ···& ···& &···& ··· \newline 0 &0 &0 &···& 2cos⁡x& 1\newline 0 &0 &0 &··· &1& 2cos⁡x\end{vmatrix}$ - $\begin{vmatrix} 1&0&...&0&0 \newline 0&1&...&0&0 \newline ···&···&&···&··· \newline 0&0&...&1&0 \newline 0&0&...&0&1\end{vmatrix}$

2cosx( $D_k$ )- $\begin{vmatrix} 1&0&...&0&0 \newline 0&1&...&0&0 \newline ···&···&&···&··· \newline 0&0&...&1&0 \newline 0&0&...&0&1\end{vmatrix}$

2cosx( $D_k$ )-I_k其中,I_k为k阶单位矩阵.根据归纳假设, $D_k$ = $\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}$ ,所以： $D_{k+1}$ =2cosx( $D_k$ )- $I_k$ =2cosx( $\frac{\sin(k+1)x}{\sin x}$ )- $I_k$ = $\frac{\sin(k+2)x}{\sin x}$ - $I_k$ 因此,对于任意的n, $D_n$ = $\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}$ 成立.