题目

(2)极限 lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(2x))}^dfrac (x{2)}= () .-|||-(A)e (B) ^-1 (C)e^4 (D) ^-dfrac (1{4)}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用自然指数$e$的标准极限形式进行求解的能力。

解题核心思路：将题目中的表达式转化为标准极限形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$，通过变量替换或取对数的方法简化计算。

破题关键点：

  1. 识别结构：观察到题目中的底数为$1 - \frac{1}{2x}$，指数为$\frac{x}{2}$，需调整形式匹配标准极限。
  2. 变量替换：令$n = 2x$，将原式转化为$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n/4}$，直接应用标准极限。
  3. 对数化简：通过取自然对数将指数转化为线性表达式，利用泰勒展开近似计算。

方法一：变量替换法

  1. 设定变量：令$n = 2x$，则当$x \to \infty$时，$n \to \infty$，且$x = \frac{n}{2}$。
  2. 改写原式：
    $\left(1 - \frac{1}{2x}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{4}}.$
  3. 应用标准极限：
    $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1},$
    因此：
    $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{4}} = \left[\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{4}} \to \left(e^{-1}\right)^{\frac{1}{4}} = e^{-\frac{1}{4}}.$

方法二：对数展开法

  1. 取自然对数：设$y = \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^{\frac{x}{2}}$，则：
    $\ln y = \frac{x}{2} \ln\left(1 - \frac{1}{2x}\right).$
  2. 泰勒展开：当$x \to \infty$时，$\frac{1}{2x}$趋近于$0$，展开$\ln(1 - t) \approx -t - \frac{t^2}{2}$：
    $\ln y \approx \frac{x}{2} \left(-\frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{16x} + \cdots.$
  3. 取极限：当$x \to \infty$时，高阶小项$\frac{1}{16x}$趋近于$0$，故：
    $\ln y \to -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad y \to e^{-\frac{1}{4}}.$