题目
设 mu_n 是 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，P A. =p, q=1-p，则对任意区间 [a, b] 有 lim _(n arrow infty) Pa< (mu_{n)-np)/(sqrt(npq)) leq b}=(）A. Phi(a)B. Phi(b)C. Phi(a)-Phi(b)D. Phi(b)-Phi(a)
设 $\mu_n$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 出现的次数，$P
- A. =p, q=1-p$，则对任意区间 $[a, b]$ 有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a< \frac{\mu_{n}-np}{\sqrt{npq}} \leq b\right\}=$(）
- A. $\Phi(a)$
- B. $\Phi(b)$
- C. $\Phi(a)-\Phi(b)$
- D. $\Phi(b)-\Phi(a)$
题目解答
答案
根据中心极限定理，当 $n$ 趋于无穷大时，标准化变量 $Z_n = \frac{\mu_n - np}{\sqrt{npq}}$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。原概率可改写为：
\[
\lim_{n \to \infty} P\left\{a < \frac{\mu_n - np}{\sqrt{pq}} \leq b\right\} = \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{a}{\sqrt{n}} < Z_n \leq \frac{b}{\sqrt{n}}\right\}.
\]
由于 $\frac{a}{\sqrt{n}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{n}}$ 趋近于0，利用标准正态分布的性质，得：
\[
\Phi\left(\frac{b}{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{n}}\right) \approx \Phi(b) - \Phi(a).
\]
因此，正确答案为：
\[
\boxed{D}
\]
解析
考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，特别是独立重复试验中事件次数的标准化及其极限分布。
解题核心思路：
- 识别模型：题目涉及$n$次独立重复试验中事件$A$出现的次数$\mu_n$，符合二项分布。
- 标准化处理：将$\mu_n$标准化为$Z_n = \frac{\mu_n - np}{\sqrt{npq}}$，根据中心极限定理，当$n$趋近于无穷大时，$Z_n$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
- 概率转换：将原概率表达式转化为标准正态分布的累积分布函数$\Phi$的形式，直接利用$\Phi(b) - \Phi(a)$计算区间概率。
破题关键点：
- 正确应用中心极限定理，明确标准化后的变量服从标准正态分布。
- 区间概率的计算：$P\{a < Z \leq b\} = \Phi(b) - \Phi(a)$，其中$Z \sim N(0,1)$。
根据中心极限定理，当$n$趋近于无穷大时，$\mu_n$近似服从均值为$np$、方差为$npq$的正态分布。对$\mu_n$进行标准化处理：
$Z_n = \frac{\mu_n - np}{\sqrt{npq}} \xrightarrow{d} N(0,1).$
原概率可表示为：
$\lim_{n \to \infty} P\left\{a < \frac{\mu_n - np}{\sqrt{npq}} \leq b\right\} = \lim_{n \to \infty} P\{a < Z_n \leq b\}.$
由于$Z_n$趋近于标准正态分布，当$n$足够大时，上述概率等价于：
$P\{a < Z \leq b\} = \Phi(b) - \Phi(a),$
其中$Z \sim N(0,1)$，$\Phi$为标准正态分布的累积分布函数。
因此，正确答案为选项D。