1.3计算四阶行列式 D= 1 1 1 1 1 1 -4 1 1 -4 1 1 -4 1 1 1

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算方法，特别是通过行变换简化行列式结构的能力，以及代数余子式展开的应用。

解题核心思路：

1. 行变换简化行列式：通过将某一行减去其他行，创造更多零元素，降低计算复杂度。
2. 选择合适行展开：优先选择零元素较多的行或列进行展开，减少计算量。
3. 符号处理：注意代数余子式的符号计算，避免符号错误。

破题关键点：

• 观察行列式结构，发现通过行变换可快速生成零元素。
• 按第四行展开，利用单非零元素简化计算。

步骤1：行变换简化行列式
将原行列式按以下方式变换：

• 第二行减去第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$，得到 $[0, 0, -5, 0]$。
• 第三行减去第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$，得到 $[0, -5, 0, 0]$。
• 第四行减去第一行：$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$，得到 $[-5, 0, 0, 0]$。

变换后的行列式为：
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & -5 & 0 \\0 & -5 & 0 & 0 \\-5 & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}$

步骤2：按第四行展开
第四行仅第一列元素非零（$-5$），展开后：
$D = (-5) \cdot (-1)^{4+1} \cdot M_{41}$
其中，$M_{41}$ 是去掉第四行和第一列后的子式：
$M_{41} = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & 0 & -5 \\0 & -5 & 0\end{vmatrix}$

步骤3：计算三阶子式
按第一行展开 $M_{41}$：
$\begin{aligned}M_{41} &= 1 \cdot (0 \cdot 0 - (-5) \cdot (-5)) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - (-5) \cdot 0) + 1 \cdot (0 \cdot (-5) - 0 \cdot 0) \\&= 1 \cdot (-25) - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = -25\end{aligned}$

步骤4：代入计算最终结果
$D = (-5) \cdot (-1)^5 \cdot (-25) = (-5) \cdot (-1) \cdot (-25) = -125$