[题目]试问:a为何值时,函数 (x)=asin x+dfrac (1)(3)sin 3x-|||-在 =dfrac (pi )(3) 处取得极值?它是极大值还是极小值?并求-|||-此极值.

考查要点：本题主要考查函数极值的判定方法，涉及导数的计算及极值存在的必要条件和充分条件。

解题核心思路：

1. 极值的必要条件：函数在极值点处的一阶导数为零，因此需先求导并代入$x=\dfrac{\pi}{3}$，解出$a$的值。
2. 极值的充分条件：通过二阶导数的符号判断极值类型。若二阶导数在该点处小于零，则为极大值；若大于零，则为极小值。

破题关键点：

• 正确计算一阶导数和二阶导数，注意复合函数求导时的链式法则。
• 代入$x=\dfrac{\pi}{3}$时，准确计算三角函数值，如$\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$，$\cos\pi = -1$，$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$等。

步骤1：求一阶导数并代入极值条件

函数$f(x) = a\sin x + \dfrac{1}{3}\sin 3x$，求导得：
$f'(x) = a\cos x + \cos 3x$
根据极值的必要条件，当$x = \dfrac{\pi}{3}$时，$f'(x) = 0$，代入得：
$f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = a\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \cos\left(3 \cdot \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{a}{2} + \cos\pi = \dfrac{a}{2} - 1 = 0$
解得：
$a = 2$

步骤2：求二阶导数判断极值类型

二阶导数为：
$f''(x) = -a\sin x - 3\sin 3x$
将$a = 2$和$x = \dfrac{\pi}{3}$代入：
$f''\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) - 3\sin\pi = -2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 0 = -\sqrt{3} < 0$
因此，$x = \dfrac{\pi}{3}$是极大值点。

步骤3：计算极大值

将$a = 2$和$x = \dfrac{\pi}{3}$代入原函数：
$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{1}{3}\sin\pi = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \sqrt{3}$