题目
求抛物线=-(x)^2+4x-3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
求抛物线
及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
题目解答
答案
解：由抛物线，得
,所以在(0,-3)处的切线为
,在(3,0)处的切线为
；联立
得出交点
，即
故面积为
解析
步骤 1：求抛物线在点(0,-3)和(3,0)处的切线方程
首先，我们需要求出抛物线$y=-{x}^{2}+4x-3$在点(0,-3)和(3,0)处的切线方程。为此，我们先求出抛物线的导数，即$y'=-2x+4$。然后，我们分别将点(0,-3)和(3,0)的横坐标代入导数中，得到切线的斜率。最后，利用点斜式方程求出切线方程。
步骤 2：求出切线的交点
接下来，我们需要求出这两条切线的交点。为此，我们联立这两条切线的方程，解出交点的坐标。
步骤 3：计算所围成的图形的面积
最后，我们利用定积分计算所围成的图形的面积。为此，我们先确定积分的上下限，然后计算定积分。
首先，我们需要求出抛物线$y=-{x}^{2}+4x-3$在点(0,-3)和(3,0)处的切线方程。为此，我们先求出抛物线的导数，即$y'=-2x+4$。然后，我们分别将点(0,-3)和(3,0)的横坐标代入导数中，得到切线的斜率。最后，利用点斜式方程求出切线方程。
步骤 2：求出切线的交点
接下来，我们需要求出这两条切线的交点。为此，我们联立这两条切线的方程，解出交点的坐标。
步骤 3：计算所围成的图形的面积
最后，我们利用定积分计算所围成的图形的面积。为此，我们先确定积分的上下限，然后计算定积分。