设随机变量zeta的密度函数varphi(x)是连续的偶函数（即varphi(x)=varphi(-x)），而F(x)是zeta的分布函数，则对任意实数a有(）。A. F(a)=F(-a)B. F(-a)=1-int_(0)^a varphi(x)dxC. F(-a)=(1)/(2)-int_(0)^a varphi(x)dxD. F(-a)=F(a)

考查要点：本题主要考查偶密度函数的分布函数性质，需要结合积分变换和对称性进行推导。

解题核心思路：

1. 利用偶函数的对称性，将分布函数$F(-a)$转化为从$a$到$+\infty$的积分。
2. 拆分分布函数$F(a)$为从$-\infty$到$0$和从$0$到$a$的两部分，结合偶函数性质简化计算。
3. 联立关系式，通过代数变形得到最终结果。

破题关键点：

• 变量替换：通过变量替换$u = -t$，将$F(-a)$的积分区间转换为正区间。
• 积分对称性：偶函数在对称区间上的积分特性（如$\int_{-\infty}^0 \varphi(t)dt = \frac{1}{2}$）。

步骤1：表达$F(-a)$的积分形式
根据分布函数定义：
$F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} \varphi(t) dt.$
令$u = -t$，则当$t$从$-\infty$到$-a$时，$u$从$+\infty$到$a$，积分变为：
$F(-a) = \int_{+\infty}^{a} \varphi(-u) (-du) = \int_{a}^{+\infty} \varphi(u) du.$

步骤2：关联$F(-a)$与$F(a)$
由于$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u) du = 1$，可得：
$F(-a) = \int_{a}^{+\infty} \varphi(u) du = 1 - \int_{-\infty}^{a} \varphi(u) du = 1 - F(a).$

步骤3：拆分$F(a)$的积分
将$F(a)$拆分为两部分：
$F(a) = \int_{-\infty}^{0} \varphi(t) dt + \int_{0}^{a} \varphi(t) dt.$
由于$\varphi(x)$是偶函数，$\int_{-\infty}^{0} \varphi(t) dt = \frac{1}{2}$（偶函数在对称区间积分等于总积分的一半），因此：
$F(a) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(t) dt.$

步骤4：代入关系式
将$F(a)$代入$F(-a) = 1 - F(a)$，得：
$F(-a) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(t) dt \right) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} \varphi(t) dt.$

结论：选项C正确。