题目

一、单选题（共50题，100.0分）40.（单选题，2.0分）若f(x)的一个原函数是sinx，则int f'(x)dx=A sinx+CB cosx+CC -sinx+CD -cosx+C

一、单选题（共50题，100.0分） 40.（单选题，2.0分） 若f(x)的一个原函数是sinx，则$\int f'(x)dx=$ A sinx+C B cosx+C C -sinx+C D -cosx+C

题目解答

答案

已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin x$，则： \[ f(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] 求导得： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] 计算积分： \[ \int f'(x) \, dx = \int (-\sin x) \, dx = \cos x + C \] 或者直接利用性质： \[ \int f'(x) \, dx = f(x) + C = \cos x + C \] **答案：** $\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查原函数与导数的关系，以及积分的基本性质。
解题思路：

  1. 明确原函数的定义：若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F'(x) = f(x)$。
  2. 求$f(x)$：根据题意，$f(x)$的原函数是$\sin x$，因此$f(x) = (\sin x)' = \cos x$。
  3. 求$f'(x)$：对$f(x)$求导，得到$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$。
  4. 积分运算：计算$\int f'(x) \, dx$，即$\int (-\sin x) \, dx$，结果为$\cos x + C$。
    关键点：原函数与导数的对应关系以及积分与导数的互逆性是解题的核心。

  1. 确定$f(x)$
    已知$f(x)$的一个原函数是$\sin x$，根据原函数的定义：
    $f(x) = \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$

  2. 求$f'(x)$
    对$f(x) = \cos x$求导：
    $f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$

  3. 计算积分$\int f'(x) \, dx$
    直接积分$f'(x) = -\sin x$：
    $\int (-\sin x) \, dx = \cos x + C$
    或利用积分与导数的互逆性：
    $\int f'(x) \, dx = f(x) + C = \cos x + C$

结论：积分结果为$\cos x + C$，对应选项B。