题目

2.求 (x,y)=(1+(e)^y)cos x-y(e)^y 的极值.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括一阶偏导数求临界点和二阶导数判别法的应用。

解题核心思路：

  1. 求一阶偏导数，联立方程求解临界点；
  2. 计算二阶偏导数，构造判别式$AC - B^2$（其中$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$）；
  3. 根据判别式判断临界点是否为极值点，以及极值的性质。

破题关键点：

  • 正确求解偏导数，特别注意符号和代数运算；
  • 代入临界点计算二阶导数时，需结合$\cos x$和$\sin x$在整数倍$\pi$处的取值；
  • 判别式结果的分析：当$AC - B^2 > 0$且$A < 0$时，对应极大值。

1. 求一阶偏导数并解临界点

  • $\frac{\partial f}{\partial x}$：
    $\frac{\partial f}{\partial x} = - (1 + e^y) \sin x$
    令其为0，得$\sin x = 0$，即$x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。

  • $\frac{\partial f}{\partial y}$：
    $\frac{\partial f}{\partial y} = e^y \cos x - e^y - y e^y = e^y (\cos x - 1 - y)$
    令其为0，得$\cos x - 1 - y = 0$，即$y = \cos x - 1$。

  • 联立解得临界点：
    将$x = k\pi$代入$y = \cos x - 1$，得$y = (-1)^k - 1$，故临界点为$(k\pi, (-1)^k - 1)$。

2. 计算二阶偏导数

  • $f_{xx}$：
    $f_{xx} = - (1 + e^y) \cos x$
  • $f_{xy}$：
    $f_{xy} = - e^y \sin x$
  • $f_{yy}$：
    $f_{yy} = e^y (\cos x - y - 2)$

3. 分析临界点性质

情况1：$k$为偶数（$k = 2m$）

  • 临界点：$(2m\pi, 0)$
  • 代入二阶导数：
    $A = f_{xx}(2m\pi, 0) = -2, \quad B = f_{xy}(2m\pi, 0) = 0, \quad C = f_{yy}(2m\pi, 0) = -1$
  • 判别式：
    $AC - B^2 = (-2)(-1) - 0 = 2 > 0$
    且$A = -2 < 0$，故为极大值点，极大值为：
    $f(2m\pi, 0) = 2$

情况2：$k$为奇数（$k = 2m + 1$）

  • 临界点：$((2m+1)\pi, -2)$
  • 代入二阶导数：
    $A = f_{xx}((2m+1)\pi, -2) = 1 + e^{-2}, \quad B = f_{xy}((2m+1)\pi, -2) = 0, \quad C = f_{yy}((2m+1)\pi, -2) = -e^{-2}$
  • 判别式：
    $AC - B^2 = (1 + e^{-2})(-e^{-2}) < 0$
    故无极值。