2.求 (x,y)=(1+(e)^y)cos x-y(e)^y 的极值.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=(1+{e}^{y})\cos x-y{e}^{y}$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$
\dfrac {\partial f}{\partial x}=(1+{e}^{y})(-\sin x)
$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$
\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{y}\cos x-(y{e}^{y}+{e}^{y})={e}^{y}(\cos x-1-y)
$$
步骤 2：寻找驻点
为了找到函数的极值点，我们需要解方程组：
$$
\begin{cases}
\dfrac {\partial f}{\partial x}=(1+{e}^{y})(-\sin x)=0 \\
\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{y}(\cos x-1-y)=0
\end{cases}
$$
从第一个方程中，我们得到 $\sin x=0$，因此 $x=k\pi$，其中 $k$ 是整数。从第二个方程中，我们得到 $\cos x-1-y=0$，因此 $y=\cos x-1$。将 $x=k\pi$ 代入，我们得到 $y=\cos(k\pi)-1$。因此，驻点为 $(k\pi, \cos(k\pi)-1)$，其中 $k$ 是整数。
步骤 3：计算二阶偏导数
为了确定这些驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数：
$$
{f}_{xx}=-\cos x(1+{e}^{y})
$$
$$
{f}_{xy}=-{e}^{y}\sin x
$$
$$
{f}_{yy}={e}^{y}(\cos x-2-y)
$$
步骤 4：应用二阶导数测试
对于每个驻点 $(k\pi, \cos(k\pi)-1)$，我们计算二阶导数的值，并应用二阶导数测试。对于 $k$ 为偶数的情况，我们有：
$$
{f}_{xx}(2k\pi,0)=-2
$$
$$
{f}_{xy}(2k\pi,0)=0
$$
$$
{f}_{yy}(2k\pi,0)=-2
$$
此时，$AC-{B}^{2}=4\gt 0$，而 $A=-2\lt 0$，所以 $f(x,y)$ 在点 $(2k\pi,0)$ $(k\in Z)$ 处取得极大值，且 $f(2k\pi,0)=2$。
对于 $k$ 为奇数的情况，我们有：
$$
{f}_{xx}[(2k+1)\pi,-2]=1+{e}^{2}
$$
$$
{f}_{xy}[(2k+1)\pi,-2]=0
$$
$$
{f}_{yy}[(2k+1)\pi,-2]=-{e}^{-2}
$$
此时，$AC-{B}^{2}\lt 0$，无极值。