题目
试计算氢原子中电子处于玻尔轨道 n=1和n=4 时的动能(单位: J)和速度()。
试计算氢原子中电子处于玻尔轨道 n=1和n=4 时的动能(单位: J)和速度(
)。
题目解答
答案
在氢原子中，电子的能量可以通过玻尔公式计算：
，其中 n 是主量子数。
对于 n = 1 的玻尔轨道，能量为：
。
对于 n = 4 的玻尔轨道，能量为：
。
对于电子的动能，我们可以利用动能-能量关系计算：
，其中 K 是动能，E 是能量，m 是电子的质量，c 是光速。
电子的质量
，光速 c = 299792458 m/s。
将负能量转化为正值，动能的计算公式为：
。
对于 n = 1 的玻尔轨道，动能为：
。
对于 n = 4 的玻尔轨道，动能为：
。
电子的速度 v 可以通过动能和质量的关系计算：
。
对于 n = 1 的玻尔轨道，速度为：
。
对于 n = 4 的玻尔轨道，速度为：
。
因此，在玻尔轨道 n = 1 和 n = 4 时，电子的动能分别是 1.23 eV 和 1.71 eV，速度分别是 
和
。
解析
步骤 1：计算玻尔轨道 n=1 和 n=4 的能量
根据玻尔公式，氢原子中电子的能量为：$E=-\dfrac {13.6}{{n}^{2}}$，其中 n 是主量子数。
对于 n = 1 的玻尔轨道，能量为：${E}_{1}=-\dfrac {13.6}{{1}^{2}}=-13.6eV$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，能量为：${E}_{4}=-\dfrac {13.6}{{4}^{2}}=-0.85eV$。
步骤 2：计算动能
电子的动能可以通过动能-能量关系计算：$K=E-m{c}^{2}$，其中 K 是动能，E 是能量，m 是电子的质量，c 是光速。
电子的质量$m=9.10938356\times {10}^{-31}kg$，光速 c = 299792458 m/s。
将负能量转化为正值，动能的计算公式为：$K=|E|+m{c}^{2}$。
对于 n = 1 的玻尔轨道，动能为：${K}_{1}=|-13.6eV|+(9.10938356\times {10}^{-31}kg)\times {(299792458m/s)}^{2}=13.6eV+8.19\times {10}^{-14}J$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，动能为：${K}_{4}=|-0.85eV|+(9.10938356\times {10}^{-31}kg)\times {(299792458m/s)}^{2}=0.85eV+7.14\times {10}^{-16}J$。
步骤 3：计算速度
电子的速度 v 可以通过动能和质量的关系计算：$K=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。
对于 n = 1 的玻尔轨道，速度为：${v}_{1}=\sqrt {\dfrac {2\cdot {K}_{1}}{m}}=\sqrt {\dfrac {2\cdot 1.23eV}{9.10938356\times {10}^{-31}kg}}=2.19\times {10}^{6}m/s$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，速度为：${v}_{4}=\sqrt {\dfrac {2\cdot {K}_{4}}{m}}=\sqrt {\dfrac {2\cdot 1.71eV}{9.10938356\times {10}^{-31}kg}}=1.38\times {10}^{6}m/s$。
根据玻尔公式，氢原子中电子的能量为：$E=-\dfrac {13.6}{{n}^{2}}$，其中 n 是主量子数。
对于 n = 1 的玻尔轨道，能量为：${E}_{1}=-\dfrac {13.6}{{1}^{2}}=-13.6eV$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，能量为：${E}_{4}=-\dfrac {13.6}{{4}^{2}}=-0.85eV$。
步骤 2：计算动能
电子的动能可以通过动能-能量关系计算：$K=E-m{c}^{2}$，其中 K 是动能，E 是能量，m 是电子的质量，c 是光速。
电子的质量$m=9.10938356\times {10}^{-31}kg$，光速 c = 299792458 m/s。
将负能量转化为正值，动能的计算公式为：$K=|E|+m{c}^{2}$。
对于 n = 1 的玻尔轨道，动能为：${K}_{1}=|-13.6eV|+(9.10938356\times {10}^{-31}kg)\times {(299792458m/s)}^{2}=13.6eV+8.19\times {10}^{-14}J$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，动能为：${K}_{4}=|-0.85eV|+(9.10938356\times {10}^{-31}kg)\times {(299792458m/s)}^{2}=0.85eV+7.14\times {10}^{-16}J$。
步骤 3：计算速度
电子的速度 v 可以通过动能和质量的关系计算：$K=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。
对于 n = 1 的玻尔轨道，速度为：${v}_{1}=\sqrt {\dfrac {2\cdot {K}_{1}}{m}}=\sqrt {\dfrac {2\cdot 1.23eV}{9.10938356\times {10}^{-31}kg}}=2.19\times {10}^{6}m/s$。
对于 n = 4 的玻尔轨道，速度为：${v}_{4}=\sqrt {\dfrac {2\cdot {K}_{4}}{m}}=\sqrt {\dfrac {2\cdot 1.71eV}{9.10938356\times {10}^{-31}kg}}=1.38\times {10}^{6}m/s$。