5.设随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为F(x ),则 =min X,Y 的分布函数为-|||-()-|||-(A)F^2(z) (B) F(x)F(y)-|||-(C) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0ded7531c443ded2d75ed9d8e0a28c05.jpg-([ 1-F(z)] )^2 (D) [ 1-F(x)] [ 1-F(y)]

考查要点：本题主要考查独立随机变量的最小值分布函数的计算，需要掌握分布函数的定义及独立事件的概率性质。

解题核心思路：

1. 最小值事件的补集转化：将“最小值不超过z”转化为“至少有一个变量不超过z”，进一步转化为“所有变量都超过z”的补集。
2. 独立事件概率乘法：利用X和Y的独立性，将联合概率分解为各自概率的乘积。
3. 分布函数表达式：通过补集概率推导出最终的分布函数形式。

破题关键点：

• 正确应用补集公式：$P(\min\{X,Y\} \leq z) = 1 - P(X > z, Y > z)$。
• 独立性应用：$P(X > z, Y > z) = P(X > z) \cdot P(Y > z)$。
• 分布函数转换：$P(X > z) = 1 - F(z)$，代入后整理表达式。

步骤1：定义最小值事件的概率
设$Z = \min\{X, Y\}$，其分布函数为$F_Z(z)$，则：
$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(\min\{X, Y\} \leq z).$

步骤2：转化为补集事件
根据补集原理，$\min\{X, Y\} \leq z$的对立事件是$\min\{X, Y\} > z$，即：
$P(\min\{X, Y\} \leq z) = 1 - P(\min\{X, Y\} > z).$

步骤3：分析对立事件的概率
$\min\{X, Y\} > z$当且仅当$X > z$且$Y > z$，因此：
$P(\min\{X, Y\} > z) = P(X > z, Y > z).$

步骤4：利用独立性分解概率
由于$X$和$Y$独立，联合概率可分解为：
$P(X > z, Y > z) = P(X > z) \cdot P(Y > z).$

步骤5：代入分布函数表达式
根据分布函数定义，$P(X > z) = 1 - F(z)$，同理$P(Y > z) = 1 - F(z)$，因此：
$P(X > z, Y > z) = [1 - F(z)]^2.$

步骤6：整合最终表达式
将上述结果代入步骤2的补集公式：
$F_Z(z) = 1 - [1 - F(z)]^2.$

结论：选项C正确。