[题目]已知曲线 y=f(x) 过原点且在(x,y)处-|||-的切线斜率 =2x+y 求此曲线方程?

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，包括积分因子法的应用以及利用初始条件确定特解。

解题核心思路：

1. 识别微分方程类型：题目中斜率条件转化为微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x + y$，整理为标准形式 $\frac{dy}{dx} - y = 2x$，属于一阶线性非齐次微分方程。
2. 应用积分因子法：通过计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$，将方程转化为可直接积分的形式。
3. 求通解并代入初始条件：利用初始条件 $y(0) = 0$ 确定常数 $C$，最终得到特解。

破题关键点：

• 正确整理方程：将原式变形为标准形式，明确 $P(x) = -1$ 和 $Q(x) = 2x$。
• 积分因子的计算：注意积分因子的符号和指数形式。
• 分部积分的准确性：计算非齐次项积分时需分部积分两次，避免计算错误。

步骤1：建立微分方程
根据题意，切线斜率为 $2x + y$，即微分方程为：
$\frac{dy}{dx} = 2x + y$
整理为标准形式：
$\frac{dy}{dx} - y = 2x$

步骤2：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$

步骤3：方程两边乘以积分因子
原方程两边乘以 $e^{-x}$：
$e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = 2x e^{-x}$
左边可写为全导数形式：
$\frac{d}{dx} \left( y e^{-x} \right) = 2x e^{-x}$

步骤4：积分求解
对两边积分：
$y e^{-x} = \int 2x e^{-x} \, dx + C$
分部积分计算右侧积分：
设 $u = 2x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = 2 dx$，$v = -e^{-x}$，得：
$\int 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C$
代入得通解：
$y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C$
两边乘以 $e^{x}$：
$y = -2x - 2 + C e^{x}$

步骤5：代入初始条件
当 $x = 0$ 时，$y = 0$，代入得：
$0 = -2 \cdot 0 - 2 + C e^{0} \implies C = 2$
因此，所求曲线方程为：
$y = 2 e^{x} - 2x - 2$