题目
9.如图所示,AC、B C两绳系一质量为 m=0.1kg-|||-的小球,AC绳长 =2m, 两绳都拉直时与轴的-|||-夹角分别为30°与45°(g取 /(s)^2 ),求:-|||-A-|||-30-|||-B-|||-45-|||-C-|||-(1)小球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧;-|||-(2)当角速度为 rad/s 时,两绳拉力分别为-|||-多大。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定AC绳张紧的临界角速度
当小球的角速度增加到一定程度时，AC绳将开始张紧。此时，AC绳的张力和重力在垂直方向上的分量平衡，而水平方向上的分量提供向心力。设此时的角速度为 ${\omega }_{1}$，则有：
${F}_{TAC}\cos {30}^{\circ }=mg$
${F}_{TAC}\sin {30}^{\circ }=m{\omega }_{1}^{2}L\sin {30}^{\circ }$
步骤 2：确定BC绳张紧的临界角速度
当角速度继续增加，AC绳的张力减小，BC绳的张力增加。当AC绳的张力减小到零时，BC绳的张力将提供全部的向心力。设此时的角速度为 ${\omega }_{2}$，则有：
${F}_{TBC}\cos {45}^{\circ }=mg$
${F}_{TBC}\sin {45}^{\circ }=m{\omega }_{2}^{2}L\sin {30}^{\circ }$
步骤 3：计算角速度范围
根据上述方程，可以解出 ${\omega }_{1}$ 和 ${\omega }_{2}$，从而确定两绳始终张紧的角速度范围。
步骤 4：计算角速度为 $3\quad rad/s$ 时的两绳拉力
当角速度为 $3\quad rad/s$ 时，两绳拉力都不为零。根据牛顿第二定律，可以列出两个方程来求解 ${F}_{TAC}$ 和 ${F}_{TBC}$。
当小球的角速度增加到一定程度时，AC绳将开始张紧。此时，AC绳的张力和重力在垂直方向上的分量平衡，而水平方向上的分量提供向心力。设此时的角速度为 ${\omega }_{1}$，则有：
${F}_{TAC}\cos {30}^{\circ }=mg$
${F}_{TAC}\sin {30}^{\circ }=m{\omega }_{1}^{2}L\sin {30}^{\circ }$
步骤 2：确定BC绳张紧的临界角速度
当角速度继续增加，AC绳的张力减小，BC绳的张力增加。当AC绳的张力减小到零时，BC绳的张力将提供全部的向心力。设此时的角速度为 ${\omega }_{2}$，则有：
${F}_{TBC}\cos {45}^{\circ }=mg$
${F}_{TBC}\sin {45}^{\circ }=m{\omega }_{2}^{2}L\sin {30}^{\circ }$
步骤 3：计算角速度范围
根据上述方程，可以解出 ${\omega }_{1}$ 和 ${\omega }_{2}$，从而确定两绳始终张紧的角速度范围。
步骤 4：计算角速度为 $3\quad rad/s$ 时的两绳拉力
当角速度为 $3\quad rad/s$ 时，两绳拉力都不为零。根据牛顿第二定律，可以列出两个方程来求解 ${F}_{TAC}$ 和 ${F}_{TBC}$。